Сторона Основи Піраміди: Розв'язок Задачі З Геометрії

Привіт, друзі! Сьогодні ми з вами поринемо у захопливий світ геометрії та розв'яжемо цікаву задачу, яка допоможе нам краще зрозуміти властивості правильних чотирикутних пірамід. Ми навчимося знаходити сторону основи піраміди, якщо нам відома її висота та кут нахилу бічної грані до основи. Звучить трохи складно, але повірте, з моїми поясненнями все стане кришталево ясно! Тож, готуйте ручки та олівці, і вперед до знань!

Розберемось із умовою задачі

Перш ніж кидатися до обчислень, давайте детально розберемося з умовою задачі. У нас є правильна чотирикутна піраміда. Що це означає? Правильна піраміда – це піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а її вершина проєктується в центр цього многокутника. У нашому випадку, в основі лежить квадрат, а вершина піраміди проєктується в центр цього квадрата.

Нам відомо, що бічна грань піраміди нахилена до основи під кутом 60°. Це означає, що кут між площиною бічної грані та площиною основи дорівнює 60°. І ще одна важлива деталь – висота піраміди дорівнює 12 см. Висота піраміди – це перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Наша мета – знайти сторону основи піраміди. Тобто, нам потрібно знайти довжину сторони квадрата, який лежить в основі піраміди.

Згадуємо ключові поняття та формули

Щоб успішно розв'язати задачу, нам потрібно пригадати кілька ключових понять і формул з геометрії.

• Правильна чотирикутна піраміда: Це піраміда, в основі якої лежить квадрат, а її вершина проєктується в центр цього квадрата.
• Висота піраміди: Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.
• Апофема піраміди: Висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини.
• Кут нахилу бічної грані до основи: Кут між площиною бічної грані та площиною основи. Цей кут утворюється апофемою піраміди та її проєкцією на площину основи.
• Тангенс кута: Відношення протилежного катета до прилеглого катета в прямокутному трикутнику. Формула: tan(α) = протилежний катет / прилеглий катет

Будуємо рисунок та визначаємо план розв'язання

Геометрія – наука, яка любить візуалізацію. Тому, першим ділом намалюємо нашу піраміду. Це допоможе нам краще зрозуміти задачу та визначити план розв'язання.

1. Зобразіть квадрат, який буде основою нашої піраміди.
2. Позначте центр квадрата – це буде проєкція вершини піраміди на площину основи.
3. Зобразіть вершину піраміди та з'єднайте її з вершинами квадрата – отримаємо бічні грані піраміди.
4. Проведіть висоту піраміди – це відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи.
5. Проведіть апофему піраміди – висоту бічної грані, проведену з вершини піраміди.
6. Позначте кут нахилу бічної грані до основи – це кут між апофемою та її проєкцією на площину основи.

Тепер, коли у нас є рисунок, ми можемо визначити план розв'язання. Ми знаємо висоту піраміди та кут нахилу бічної грані до основи. Ми можемо використати ці дані, щоб знайти довжину апофеми. А знаючи апофему та кут нахилу, ми зможемо знайти половину сторони основи. Помноживши отримане значення на 2, ми знайдемо повну сторону основи.

Розв'язуємо задачу крок за кроком

1. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою піраміди, апофемою та її проєкцією на площину основи. Нехай висота піраміди буде h = 12 см, кут нахилу бічної грані до основи буде α = 60°, а апофема буде l. Проєкція апофеми на площину основи – це відрізок, що з'єднує центр основи з серединою сторони основи. Позначимо довжину цього відрізка як x.

2. Використаємо тангенс кута α, щоб знайти довжину проєкції апофеми (x). Ми знаємо, що tan(α) = протилежний катет / прилеглий катет. У нашому випадку, протилежний катет – це висота піраміди (h), а прилеглий катет – це проєкція апофеми (x). Тому, tan(60°) = h / x. Звідси, x = h / tan(60°).

3. Підставимо відомі значення та обчислимо x. Ми знаємо, що h = 12 см, а tan(60°) = √3. Тому, x = 12 / √3. Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику, помножимо чисельник і знаменник на √3: x = (12 * √3) / (√3 * √3) = (12√3) / 3 = 4√3 см.

4. Згадаємо, що проєкція апофеми (x) – це половина сторони основи. Нехай сторона основи піраміди буде a. Тоді, x = a / 2. Звідси, a = 2 * x.

5. Підставимо знайдене значення x та обчислимо сторону основи (a). Ми знаємо, що x = 4√3 см. Тому, a = 2 * 4√3 = 8√3 см.

Отже, ми знайшли сторону основи піраміди! Вона дорівнює 8√3 см.

Відповідь

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8√3 см.

Підсумуємо

Сьогодні ми з вами успішно розв'язали задачу з геометрії та знайшли сторону основи правильної чотирикутної піраміди. Ми пригадали основні поняття та формули, навчилися будувати рисунок та визначати план розв'язання. Ключовим моментом у розв'язанні цієї задачі було використання тангенса кута нахилу бічної грані до основи.

Не бійтеся геометрії, друзі! Це захоплива наука, яка відкриває перед нами безліч цікавих можливостей. Головне – не зупинятися на досягнутому, практикуватися та розв'язувати нові задачі. І пам'ятайте, що з правильним підходом та наполегливістю, будь-яка задача стає розв'язною!

Додаткові поради та ресурси

• Практикуйтеся! Розв'язуйте якомога більше задач з геометрії, щоб закріпити свої знання та навички.
• Використовуйте онлайн-калькулятори та інструменти. Вони можуть допомогти вам перевірити свої розв'язки та краще зрозуміти матеріал.
• Шукайте додаткові ресурси в інтернеті. Існує безліч вебсайтів та відео, які пропонують пояснення та приклади розв'язання задач з геометрії.
• Не соромтеся звертатися за допомогою до вчителів та однокласників. Спільне розв'язання задач може бути дуже ефективним способом навчання.

Сподіваюся, ця стаття була корисною для вас. Якщо у вас виникли запитання, не соромтеся задавати їх у коментарях. До нових зустрічей у світі геометрії!