Solução Da Equação Complexa X² - 4x + 5 = 0: Passo A Passo

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos resolver um problema super interessante de matemática que envolve equações complexas e a famosa fórmula de Bhaskara. Se você está estudando números complexos ou simplesmente quer dar um gás nos seus conhecimentos matemáticos, este artigo é para você. Vamos descobrir qual é a solução da equação x² - 4x + 5 = 0 e justificar a resposta utilizando a fórmula de Bhaskara. Preparados? Então, bora lá!

Entendendo o Problema: Equação Complexa x² - 4x + 5 = 0

Primeiramente, vamos entender bem o que temos em mãos. A equação que precisamos resolver é x² - 4x + 5 = 0. Esta é uma equação quadrática, também conhecida como equação do segundo grau. A particularidade aqui é que, ao resolvermos, encontraremos soluções que envolvem números complexos, ou seja, números que possuem uma parte real e uma parte imaginária.

Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, uma ferramenta poderosa que nos ajuda a encontrar as raízes (ou soluções) de qualquer equação do segundo grau. Mas antes de aplicarmos a fórmula, vamos relembrar o que são números complexos e como eles se encaixam nesse tipo de problema.

O que são Números Complexos?

Números complexos são uma extensão dos números reais e incluem a unidade imaginária, representada pela letra 'i'. A unidade imaginária é definida como a raiz quadrada de -1 (i = √-1). Um número complexo é geralmente escrito na forma a + bi, onde 'a' é a parte real e 'b' é a parte imaginária.

No nosso caso, ao aplicarmos a fórmula de Bhaskara, vamos encontrar raízes que envolvem essa unidade imaginária 'i'. Isso significa que as soluções da nossa equação não são números reais, mas sim números complexos. Agora que já relembramos o conceito de números complexos, podemos avançar para a aplicação da fórmula de Bhaskara.

A Fórmula de Bhaskara: Nossa Ferramenta Secreta

A fórmula de Bhaskara é dada por:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Onde 'a', 'b' e 'c' são os coeficientes da equação quadrática na forma ax² + bx + c = 0. Na nossa equação x² - 4x + 5 = 0, temos:

• a = 1
• b = -4
• c = 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula de Bhaskara e ver o que acontece. Este é o momento crucial para desvendarmos as soluções da nossa equação. Vamos acompanhar cada passo para garantir que tudo fique claro e você possa aplicar esse conhecimento em outros problemas.

Aplicando a Fórmula de Bhaskara Passo a Passo

Vamos substituir os valores dos coeficientes na fórmula de Bhaskara:

x = (-(-4) ± √((-4)² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1)

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:

(-4)² = 16 4 * 1 * 5 = 20

Então, temos:

x = (4 ± √(16 - 20)) / 2

Agora, vamos calcular o valor dentro da raiz:

16 - 20 = -4

Chegamos aqui a um ponto crucial: a raiz quadrada de um número negativo. É aqui que os números complexos entram em cena. A raiz quadrada de -4 pode ser escrita como:

√-4 = √(4 * -1) = √4 * √-1 = 2i

Agora, podemos substituir esse valor na nossa fórmula:

x = (4 ± 2i) / 2

Finalmente, vamos simplificar para encontrar as duas soluções:

Encontrando as Soluções da Equação

Agora que temos a expressão x = (4 ± 2i) / 2, podemos encontrar as duas soluções separando o sinal de ±. Vamos chamar as soluções de x1 e x2:

Solução 1 (x1)

Para a primeira solução, vamos usar o sinal de +:

x1 = (4 + 2i) / 2

Podemos dividir ambos os termos no numerador por 2:

x1 = 4/2 + 2i/2 x1 = 2 + i

Solução 2 (x2)

Para a segunda solução, vamos usar o sinal de -:

x2 = (4 - 2i) / 2

Novamente, dividimos ambos os termos por 2:

x2 = 4/2 - 2i/2 x2 = 2 - i

Então, encontramos as duas soluções da equação: x1 = 2 + i e x2 = 2 - i. Agora, vamos comparar essas soluções com as alternativas fornecidas no problema.

Comparando com as Alternativas: Qual é a Resposta Certa?

O problema nos deu as seguintes alternativas:

A) 2 + i B) 2 - i C) 2 + 2i D) 2 - 2i

Comparando as soluções que encontramos (2 + i e 2 - i) com as alternativas, podemos ver que as opções A e B correspondem exatamente às nossas soluções. Portanto, as soluções da equação x² - 4x + 5 = 0 são, de fato, 2 + i e 2 - i.

Mas espere! O problema pediu para justificarmos a resposta utilizando a fórmula de Bhaskara. E foi exatamente isso que fizemos! Mostramos passo a passo como aplicar a fórmula, lidar com a raiz quadrada de um número negativo e encontrar as soluções complexas.

Conclusão: Dominando as Equações Complexas com Bhaskara

Parabéns, pessoal! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática de hoje. Conseguimos resolver a equação complexa x² - 4x + 5 = 0 utilizando a fórmula de Bhaskara e confirmamos que as soluções são 2 + i e 2 - i.

Espero que este passo a passo tenha sido útil e que você se sinta mais confiante para enfrentar outros problemas envolvendo números complexos e equações quadráticas. Lembre-se, a prática leva à perfeição. Quanto mais você praticar, mais fácil e natural se tornará resolver esses problemas.

E aí, curtiram? Se tiverem alguma dúvida ou quiserem resolver mais problemas juntos, deixem seus comentários abaixo. Até a próxima, e bons estudos! 😉

Justificativa Detalhada da Solução

Para solidificar ainda mais o nosso entendimento, vamos recapitular cada etapa da resolução e justificar cada passo:

1. Identificação dos Coeficientes: Na equação x² - 4x + 5 = 0, identificamos os coeficientes a = 1, b = -4 e c = 5. Essa identificação é crucial para aplicar a fórmula de Bhaskara corretamente.

2. Aplicação da Fórmula de Bhaskara: Substituímos os coeficientes na fórmula x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Essa fórmula é a chave para encontrar as raízes de qualquer equação quadrática.

3. Cálculo do Discriminante: Calculamos o discriminante (Δ = b² - 4ac), que nos deu -4. O discriminante é fundamental porque ele nos diz se a equação tem soluções reais ou complexas. No nosso caso, um discriminante negativo indica soluções complexas.

4. Introdução da Unidade Imaginária: Ao encontrar a raiz quadrada de -4, introduzimos a unidade imaginária 'i' (√-1). Isso é essencial para trabalhar com números complexos.

5. Simplificação da Expressão: Simplificamos a expressão (4 ± 2i) / 2 dividindo cada termo por 2, o que nos deu as soluções 2 + i e 2 - i. A simplificação garante que as soluções estejam na forma mais clara.

6. Comparação com as Alternativas: Comparamos as soluções encontradas com as alternativas fornecidas e confirmamos que as opções A (2 + i) e B (2 - i) são as corretas. Essa comparação valida nossa resolução e nos dá confiança no resultado.

Ao justificar cada passo, demonstramos um entendimento profundo do processo de resolução e reforçamos a importância de cada etapa. Resolver problemas de matemática não é apenas encontrar a resposta certa, mas também entender o porquê essa resposta é a correta.

Se você chegou até aqui, parabéns! Você não só aprendeu a resolver uma equação complexa, mas também entendeu o raciocínio por trás da solução. Continue praticando e explorando o mundo fascinante da matemática!