PDF Dan Nilai Harapan Statistik Order Y2

by ADMIN 41 views

Hey guys! 👋 Pernahkah kalian bertanya-tanya tentang statistik order dan bagaimana cara menghitung PDF (Probability Density Function) serta nilai harapannya? Nah, kali ini kita akan membahas tuntas tentang statistik order Y2Y_2 dari sampel acak yang diambil dari distribusi tertentu. Siap? Yuk, kita mulai!

Apa itu Statistik Order?

Sebelum kita masuk ke perhitungan yang lebih kompleks, penting untuk memahami dulu apa itu statistik order. Secara sederhana, statistik order adalah nilai-nilai dalam sampel acak yang telah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Misalnya, jika kita punya sampel acak {5, 2, 8, 1, 9}, maka statistik ordernya adalah Y1=1Y_1 = 1, Y2=2Y_2 = 2, Y3=5Y_3 = 5, Y4=8Y_4 = 8, dan Y5=9Y_5 = 9. Dalam notasi ini, YiY_i menunjukkan nilai ke-i dalam urutan tersebut.

Dalam konteks soal yang diberikan, kita memiliki sampel acak berukuran 4, yang berarti kita akan memiliki 4 statistik order: Y1<Y2<Y3<Y4Y_1 < Y_2 < Y_3 < Y_4. Soal ini meminta kita untuk mencari PDF dari Y2Y_2 dan nilai harapannya, E(Y2)E(Y_2). Ini berarti kita fokus pada nilai kedua terkecil dalam sampel kita. Mengapa ini penting? Statistik order sering digunakan dalam berbagai aplikasi, mulai dari pengendalian kualitas hingga analisis risiko. Memahami distribusinya memungkinkan kita untuk membuat inferensi yang lebih akurat tentang populasi dari mana sampel itu diambil.

Soal dan Pendekatan

Soal kita adalah sebagai berikut: Misalkan Y1<Y2<Y3<Y4Y_1 < Y_2 < Y_3 < Y_4 menyatakan statistik terurut dari suatu sampel acak berukuran 4 yang diambil dari distribusi dengan fungsi kepadatan peluang:

f(x)={2x,0<x<10,lainnyaf(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}

Kita diminta untuk menentukan PDF dari Y2Y_2 dan E(Y2)E(Y_2).

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan beberapa konsep kunci dari teori statistik order. Pertama, kita perlu tahu bagaimana cara menghitung PDF dari statistik order secara umum. Kedua, kita akan menerapkan rumus tersebut pada kasus spesifik Y2Y_2 dengan distribusi yang diberikan. Terakhir, kita akan menghitung nilai harapan E(Y2)E(Y_2) menggunakan PDF yang telah kita temukan.

Menentukan PDF dari Statistik Order Y2Y_2

Rumus Umum PDF Statistik Order

Secara umum, PDF dari statistik order ke-rr dari sampel berukuran nn adalah:

fYr(y)=n!(r−1)!(n−r)![F(y)]r−1[1−F(y)]n−rf(y)f_{Y_r}(y) = \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!} [F(y)]^{r-1} [1 - F(y)]^{n-r} f(y)

di mana:

  • nn adalah ukuran sampel
  • rr adalah urutan statistik order yang kita minati
  • F(y)F(y) adalah fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi asal
  • f(y)f(y) adalah PDF dari distribusi asal

Menerapkan Rumus pada Kasus Y2Y_2

Dalam kasus kita, kita punya n=4n = 4 dan kita tertarik pada Y2Y_2, jadi r=2r = 2. Fungsi kepadatan peluang (PDF) kita adalah f(x)=2xf(x) = 2x untuk 0<x<10 < x < 1. Kita juga perlu mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF), F(x)F(x).

Mencari Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF)

CDF didefinisikan sebagai integral dari PDF dari batas bawah distribusi hingga xx:

F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x2tdtF(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 2t dt

Menghitung integralnya, kita dapatkan:

F(x)=[t2]0x=x2F(x) = [t^2]_{0}^{x} = x^2

Jadi, CDF kita adalah F(x)=x2F(x) = x^2 untuk 0<x<10 < x < 1.

Menghitung PDF dari Y2Y_2

Sekarang kita punya semua yang kita butuhkan untuk menghitung PDF dari Y2Y_2. Mari kita masukkan nilai-nilai ke dalam rumus umum:

fY2(y)=4!(2−1)!(4−2)![F(y)]2−1[1−F(y)]4−2f(y)f_{Y_2}(y) = \frac{4!}{(2-1)!(4-2)!} [F(y)]^{2-1} [1 - F(y)]^{4-2} f(y)

Sederhanakan:

fY2(y)=4!1!2![y2]1[1−y2]2(2y)f_{Y_2}(y) = \frac{4!}{1!2!} [y^2]^{1} [1 - y^2]^{2} (2y)

fY2(y)=12imesy2imes(1−y2)2imes2yf_{Y_2}(y) = 12 imes y^2 imes (1 - y^2)^2 imes 2y

fY2(y)=24y3(1−y2)2f_{Y_2}(y) = 24y^3 (1 - y^2)^2

Jadi, PDF dari Y2Y_2 adalah fY2(y)=24y3(1−y2)2f_{Y_2}(y) = 24y^3 (1 - y^2)^2 untuk 0<y<10 < y < 1.

Menghitung Nilai Harapan E(Y2)E(Y_2)

Definisi Nilai Harapan

Nilai harapan (expected value) dari variabel acak adalah rata-rata tertimbang dari semua nilai yang mungkin, di mana bobotnya adalah probabilitas nilai tersebut. Dalam kasus variabel acak kontinu, nilai harapan dihitung sebagai integral:

E(Y2)=∫−∞∞yfY2(y)dyE(Y_2) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y_2}(y) dy

Menerapkan pada Kasus Y2Y_2

Dalam kasus kita, kita akan mengintegrasikan PDF fY2(y)f_{Y_2}(y) yang telah kita temukan, dikalikan dengan yy, dari 0 hingga 1:

E(Y2)=∫01yimes24y3(1−y2)2dyE(Y_2) = \int_{0}^{1} y imes 24y^3 (1 - y^2)^2 dy

E(Y2)=24∫01y4(1−2y2+y4)dyE(Y_2) = 24 \int_{0}^{1} y^4 (1 - 2y^2 + y^4) dy

E(Y2)=24∫01(y4−2y6+y8)dyE(Y_2) = 24 \int_{0}^{1} (y^4 - 2y^6 + y^8) dy

Menghitung Integral

Sekarang kita hitung integralnya:

E(Y2)=24[y55−2y77+y99]01E(Y_2) = 24 [\frac{y^5}{5} - \frac{2y^7}{7} + \frac{y^9}{9}]_{0}^{1}

E(Y2)=24(15−27+19)E(Y_2) = 24 (\frac{1}{5} - \frac{2}{7} + \frac{1}{9})

Untuk menyederhanakan, kita cari KPK dari 5, 7, dan 9, yaitu 315:

E(Y2)=24(63315−90315+35315)E(Y_2) = 24 (\frac{63}{315} - \frac{90}{315} + \frac{35}{315})

E(Y2)=24(63−90+35315)E(Y_2) = 24 (\frac{63 - 90 + 35}{315})

E(Y2)=24(8315)E(Y_2) = 24 (\frac{8}{315})

E(Y2)=192315E(Y_2) = \frac{192}{315}

Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:

E(Y2)=64105E(Y_2) = \frac{64}{105}

Jadi, nilai harapan dari Y2Y_2 adalah E(Y2)=64105≈0.6095E(Y_2) = \frac{64}{105} \approx 0.6095.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menentukan PDF dari statistik order Y2Y_2 dan cara menghitung nilai harapannya. Kita mulai dengan memahami konsep dasar statistik order, kemudian menerapkan rumus umum PDF pada kasus spesifik dengan distribusi yang diberikan, dan akhirnya menghitung nilai harapan menggunakan integral. Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep ini dengan lebih baik! Sampai jumpa di artikel berikutnya! 😉