Объем Фигуры Вращения: Решение Задачи С Котангенсом

by SLV Team 52 views

Привет, ребята! Давайте разберем интересную задачу по геометрии, которая касается прямоугольных треугольников и объемов фигур вращения. В этой задаче нам предстоит вычислить объем фигуры, полученной вращением прямоугольного треугольника, используя данные о гипотенузе и котангенсе угла. Звучит немного сложно, но не волнуйтесь, мы все подробно разберем, шаг за шагом. Цель нашего сегодняшнего занятия - понять, как применять знания геометрии для решения практических задач, и научиться находить объем фигуры вращения, зная лишь несколько исходных данных. Давайте начнем с самого начала и разберем все условия задачи.

Постановка задачи и ключевые моменты

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник. Это означает, что один из его углов равен 90 градусам. Это очень важная информация, которую нельзя упускать из виду. Далее, нам даны два ключевых параметра: длина гипотенузы и котангенс одного из острых углов. Гипотенуза – это сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, а котангенс угла – это отношение прилежащего катета к противолежащему. В нашей задаче длина гипотенузы равна 6old{\sqrt{2}}, а котангенс одного из острых углов равен 3\sqrt{3}. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его меньший катет. Это значит, что при вращении треугольник образует конус. Наша задача – найти объем этого конуса. А точнее, найти значение выражения V2⋅π\frac{V}{\sqrt{2} \cdot \pi}, где VV – объем конуса. Звучит интересно, правда? Давайте подумаем, как мы можем решить эту задачу. Для начала, давайте вспомним формулу для объема конуса, а затем перейдем к вычислениям. Понимание условия задачи – это уже половина успеха. Давайте выделим ключевые моменты: прямоугольный треугольник, вращение вокруг катета, заданные гипотенуза и котангенс. Это все, что нам нужно, чтобы решить задачу. Не забудьте, что чертеж всегда помогает увидеть задачу наглядно. Попробуйте нарисовать треугольник и представить себе, как он вращается.

Формула объема конуса и её применение

Прежде чем мы начнем решать задачу, нам нужно вспомнить формулу для вычисления объема конуса. Объем конуса (V) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot h$, где R – радиус основания конуса, а h – его высота. В нашем случае высота конуса будет равна длине большего катета исходного треугольника, а радиус основания – длине меньшего катета. Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, мы можем приступить к решению задачи. Наша следующая цель - найти длины катетов прямоугольного треугольника. Для этого нам понадобятся знания тригонометрии. Помните, что котангенс угла - это отношение прилежащего катета к противолежащему. Зная котангенс одного из углов, мы можем найти соотношение сторон треугольника. А зная гипотенузу, мы можем найти длины катетов. Не забывайте о правилах работы с радикалами. Это поможет вам избежать ошибок в вычислениях. Всегда проверяйте свои ответы, чтобы убедиться в их правильности. Решение задач по геометрии - это как головоломка, где каждая деталь важна. Убедитесь, что вы понимаете каждый шаг решения.

Решение задачи: Пошаговая инструкция

Давайте перейдем к решению задачи. Нам дано, что котангенс одного из острых углов равен 3\sqrt{3}. Обозначим этот угол как α{\alpha}. Тогда, $\cot(\alpha) = \sqrt3}$. Мы знаем, что котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему. Следовательно, если прилежащий катет равен x, то противолежащий катет равен x3\frac{x}{\sqrt{3}}. Или, если взять противолежащий катет за единицу, то прилежащий будет 3\sqrt{3}. Но нам нужно найти длины сторон, а не их соотношение. Мы знаем, что гипотенуза равна 626\sqrt{2}. Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Мы также знаем, что $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)\sin(\alpha)}$. Поскольку cot⁡(α)=3\cot(\alpha) = \sqrt{3}, то $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \sqrt{3}$. Отсюда $\cos(\alpha) = \sqrt{3} \cdot \sin(\alpha)$. Подставим это в основное тригонометрическое тождество $(\sqrt{3 \cdot \sin(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha) = 1$. Получаем: $3 \cdot \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, или $4 \cdot \sin^2(\alpha) = 1$. Значит, $\sin^2(\alpha) = \frac1}{4}$, и $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$. Это означает, что угол α=30∘{\alpha = 30^\circ}. Тогда косинус этого угла равен cos⁡(30∘)=32\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. Теперь мы можем найти длины катетов. Пусть меньший катет (он лежит напротив угла α{\alpha}) равен a, а больший катет равен b. Используя синус и косинус, получим $\sin(\alpha) = \frac{a{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$, откуда $a = 3\sqrt{2}$. И $\cos(\alpha) = \frac{b}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $b = 3\sqrt{6}$. Таким образом, мы нашли длины катетов. Меньший катет равен 323\sqrt{2}, а больший катет равен 363\sqrt{6}. Теперь, когда мы знаем длины катетов, мы можем найти объем конуса.

Вычисление объема конуса

Итак, мы знаем, что меньший катет a=32a = 3\sqrt{2} – это радиус основания конуса, а больший катет b=36b = 3\sqrt{6} – это высота конуса. Подставляем эти значения в формулу объема конуса: $V = \frac1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 3\sqrt{6}$. Вычисляем $V = \frac{13} \cdot \pi \cdot 18 \cdot 3\sqrt{6} = 18\sqrt{6} \cdot \pi$. Теперь нам нужно найти значение выражения V2⋅π\frac{V}{\sqrt{2} \cdot \pi} $\frac{V{\sqrt{2} \cdot \pi} = \frac{18\sqrt{6} \cdot \pi}{\sqrt{2} \cdot \pi} = \frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{\frac{6}{2}} = 18\sqrt{3}$. Итак, значение выражения V2⋅π\frac{V}{\sqrt{2} \cdot \pi} равно 18318\sqrt{3}. Поздравляю, ребята! Мы успешно решили задачу. Этот пример показывает, как важно знать не только формулы, но и уметь применять их на практике. Не бойтесь сложных задач, ведь каждая из них – это возможность узнать что-то новое и улучшить свои знания. Практикуйтесь больше, и все получится! Давайте закрепим полученные знания, решив еще несколько подобных задач. Главное – понять логику решения, а остальное – дело техники.

Заключение и полезные советы

Итак, мы успешно решили задачу на нахождение объема фигуры вращения, используя знания геометрии и тригонометрии. Мы прошли через все этапы: от понимания условия задачи до получения окончательного ответа. Помните: геометрия – это не просто заучивание формул, это умение мыслить логически и применять свои знания на практике. Для успешного решения задач по геометрии, особенно тех, которые связаны с объемами и площадями, рекомендуется следующее:

  • Понимание основных понятий: Убедитесь, что вы хорошо знаете определения геометрических фигур, таких как треугольники, конусы, цилиндры и т.д. Знайте, что такое катет, гипотенуза, радиус, высота и т.д.
  • Знание формул: Выучите основные формулы для вычисления площадей и объемов. Регулярно повторяйте их, чтобы не забывать.
  • Визуализация: Старайтесь представлять себе геометрические фигуры и процессы. Рисуйте чертежи, делайте эскизы. Это поможет вам лучше понять задачу.
  • Пошаговое решение: Разбейте задачу на отдельные шаги. Это поможет вам избежать ошибок и сделать процесс решения более понятным.
  • Проверка ответов: Всегда проверяйте свои ответы. Убедитесь, что они логичны и соответствуют условиям задачи.
  • Практика: Решайте как можно больше задач. Чем больше вы практикуетесь, тем лучше вы будете понимать геометрию.
  • Понимание тригонометрии: Знание тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс) и тригонометрических тождеств часто необходимо для решения задач по геометрии.
  • Работа с радикалами: Умение упрощать выражения с радикалами поможет избежать ошибок в вычислениях.

Не забывайте, что математика требует постоянной практики. Чем больше вы решаете задач, тем лучше вы будете понимать материал. Удачи вам в ваших будущих начинаниях! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь спрашивать. Пока! И до новых встреч на наших уроках! Если вам понравился этот разбор, не забудьте поставить лайк и поделиться с друзьями. До скорой встречи!