Merasionalkan Penyebut: Contoh Soal Dan Pembahasan

by SLV Team 51 views

Hey guys! Kali ini kita akan membahas tentang cara merasionalkan penyebut dalam bentuk akar. Materi ini penting banget dalam matematika, khususnya saat kita berurusan dengan pecahan yang penyebutnya mengandung akar. Biar makin paham, kita langsung bahas contoh soalnya ya. Kita akan fokus pada soal: Sederhanakan bentuk berikut dengan merasionalkan penyebutnya: 77−2\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}. Yuk, simak penjelasannya!

Apa Itu Merasionalkan Penyebut?

Sebelum kita masuk ke contoh soal, penting untuk memahami dulu apa sih sebenarnya merasionalkan penyebut itu? Secara sederhana, merasionalkan penyebut adalah proses mengubah bentuk pecahan yang penyebutnya masih berupa bilangan irasional (biasanya bentuk akar) menjadi bentuk pecahan yang penyebutnya rasional. Kenapa kita perlu melakukan ini? Karena dalam matematika, bentuk pecahan dengan penyebut irasional dianggap kurang 'rapi', guys. Jadi, kita buat lebih sederhana dan mudah dipahami.

Konsep Dasar yang Perlu Diingat:

  • Bilangan Irasional: Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa (a/b) dan memiliki desimal yang tidak berulang dan tidak berhenti. Contohnya: 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5}, dan seterusnya.
  • Bilangan Rasional: Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa (a/b). Contohnya: 2, 3, 1/2, 0.75, dan seterusnya.
  • Konjugat: Konjugat adalah pasangan bilangan yang memiliki bentuk yang sama tetapi tanda operasi di tengahnya berbeda. Misalnya, konjugat dari (a + b) adalah (a - b), dan sebaliknya. Konsep konjugat ini penting banget dalam merasionalkan penyebut yang berbentuk penjumlahan atau pengurangan akar.

Kenapa Konjugat Penting?

Konjugat ini punya kekuatan magis, guys! Ketika kita mengalikan suatu bilangan dengan konjugatnya, kita akan menghilangkan akar. Ingat rumus ini:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Nah, rumus ini akan sangat berguna saat kita merasionalkan penyebut yang berbentuk penjumlahan atau pengurangan akar. Dengan mengalikan penyebut dengan konjugatnya, kita akan mendapatkan bentuk yang tidak lagi mengandung akar.

Langkah-Langkah Merasionalkan Penyebut

Secara umum, berikut adalah langkah-langkah yang perlu kalian ikuti untuk merasionalkan penyebut:

  1. Identifikasi Penyebut: Lihat penyebut pecahan kalian. Apakah penyebutnya merupakan bentuk akar tunggal atau bentuk penjumlahan/pengurangan akar?
  2. Tentukan Faktor Pengali:
    • Jika penyebutnya bentuk akar tunggal (misalnya a\sqrt{a}), maka kalikan pecahan tersebut dengan aa\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}.
    • Jika penyebutnya bentuk penjumlahan/pengurangan akar (misalnya a + b\sqrt{b} atau a - b\sqrt{b}), maka kalikan pecahan tersebut dengan konjugat dari penyebutnya.
  3. Kalikan Pembilang dan Penyebut: Kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
  4. Sederhanakan: Sederhanakan hasil perkalian, jika memungkinkan. Pastikan tidak ada lagi bentuk akar di penyebut.

Contoh Soal: 77−2\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}

Sekarang, mari kita terapkan langkah-langkah di atas untuk menyelesaikan soal kita: Sederhanakan bentuk 77−2\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}.

1. Identifikasi Penyebut:

Penyebutnya adalah 7−2\sqrt{7}-\sqrt{2}, yang merupakan bentuk pengurangan akar.

2. Tentukan Faktor Pengali:

Karena penyebutnya adalah 7−2\sqrt{7}-\sqrt{2}, maka konjugatnya adalah 7+2\sqrt{7}+\sqrt{2}. Jadi, kita akan mengalikan pecahan dengan 7+27+2\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}.

3. Kalikan Pembilang dan Penyebut:

77−2×7+27+2=7(7+2)(7−2)(7+2)\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})}

Sekarang kita kalikan pembilang dan penyebutnya:

  • Pembilang: 7(7+2)=(7×7)+(7×2)=7+14\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{2}) = (\sqrt{7} \times \sqrt{7}) + (\sqrt{7} \times \sqrt{2}) = 7 + \sqrt{14}
  • Penyebut: (7−2)(7+2)(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2}). Ingat rumus (a - b)(a + b) = a² - b². Jadi, (7−2)(7+2)=(7)2−(2)2=7−2=5(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5

4. Sederhanakan:

Setelah kita kalikan, kita dapatkan:

7+145\frac{7 + \sqrt{14}}{5}

Nah, ini adalah bentuk paling sederhana dari pecahan tersebut. Penyebutnya sudah rasional (yaitu 5), dan kita tidak bisa menyederhanakannya lebih lanjut.

Jadi, bentuk sederhana dari 77−2\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} adalah 7+145\frac{7 + \sqrt{14}}{5}. Gimana, guys? Sudah mulai paham kan?

Tips dan Trik Merasionalkan Penyebut

Biar kalian makin jago dalam merasionalkan penyebut, berikut beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan:

  • Perhatikan Tanda Operasi: Saat menentukan konjugat, pastikan kalian mengubah tanda operasi di tengah (antara dua suku), bukan tanda di depan suku.
  • Jangan Lupa Distribusi: Saat mengalikan pembilang, pastikan kalian mendistribusikan faktor pengali ke setiap suku di dalam kurung.
  • Sederhanakan Akar: Jika ada akar yang bisa disederhanakan (misalnya 8\sqrt{8} menjadi 22\sqrt{2}), sederhanakan dulu sebelum melanjutkan proses.
  • Latihan Soal: Practice makes perfect! Semakin banyak kalian latihan soal, semakin cepat dan akurat kalian dalam merasionalkan penyebut.

Contoh Soal Lain dan Pembahasannya

Biar makin mantap, kita bahas satu contoh soal lagi, yuk!

Soal: Sederhanakan 23+1\frac{2}{\sqrt{3} + 1}.

1. Identifikasi Penyebut:

Penyebutnya adalah 3+1\sqrt{3} + 1, yang merupakan bentuk penjumlahan akar.

2. Tentukan Faktor Pengali:

Konjugat dari 3+1\sqrt{3} + 1 adalah 3−1\sqrt{3} - 1. Jadi, kita akan mengalikan pecahan dengan 3−13−1\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}.

3. Kalikan Pembilang dan Penyebut:

23+1×3−13−1=2(3−1)(3+1)(3−1)\frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}

  • Pembilang: 2(3−1)=23−22(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 2
  • Penyebut: (3+1)(3−1)=(3)2−12=3−1=2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2

4. Sederhanakan:

23−22\frac{2\sqrt{3} - 2}{2}

Kita bisa bagi pembilang dan penyebut dengan 2:

23−22=2(3−1)2=3−1\frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1

Jadi, bentuk sederhana dari 23+1\frac{2}{\sqrt{3} + 1} adalah 3−1\sqrt{3} - 1.

Kesimpulan

Merasionalkan penyebut memang terlihat sedikit rumit pada awalnya, tapi dengan pemahaman konsep dasar dan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasainya. Ingat kunci utamanya adalah mengidentifikasi penyebut, menentukan faktor pengali (konjugat), mengalikan pembilang dan penyebut, dan menyederhanakan hasilnya. Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk latihan soal lagi biar makin lancar. Semangat terus belajarnya!