Koordinat Bayangan Transformasi Linear: Soal Dan Pembahasan

by SLV Team 60 views

Hey guys! Matematika itu emang seru ya, apalagi kalau kita lagi ngomongin transformasi linear. Nah, kali ini kita bakal bahas soal yang cukup menarik tentang koordinat bayangan hasil komposisi transformasi linear. Buat kalian yang lagi belajar atau pengen refresh materi ini, yuk simak baik-baik!

Memahami Transformasi Linear dan Komposisinya

Sebelum kita masuk ke soal, ada baiknya kita pahami dulu konsep dasar dari transformasi linear dan komposisinya. Jadi, transformasi linear itu sederhananya adalah suatu fungsi yang memetakan suatu vektor ke vektor lain dengan mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Contohnya, rotasi, translasi, dilatasi, dan refleksi adalah contoh-contoh transformasi linear.

Komposisi transformasi linear itu apa? Gampangnya, ini adalah penerapan dua atau lebih transformasi linear secara berurutan. Misalkan kita punya dua transformasi, T₁ dan T₂. Komposisi T₂ ∘ T₁ berarti kita terapkan T₁ terlebih dahulu, lalu hasilnya kita terapkan T₂. Urutannya penting banget ya guys, karena T₂ ∘ T₁ umumnya akan menghasilkan hasil yang berbeda dengan T₁ ∘ T₂.

Dalam konteks matriks, transformasi linear bisa direpresentasikan dengan matriks. Jadi, kalau kita punya matriks transformasi T dan vektor v, maka hasil transformasinya adalah T * v (perkalian matriks). Nah, kalau kita punya komposisi transformasi, misalkan T₂ ∘ T₁, maka matriks transformasinya adalah hasil perkalian matriks T₂ * T₁. Jadi, kita kalikan dulu matriks T₂ dengan matriks T₁, baru hasilnya kita kalikan dengan vektor yang mau kita transformasikan.

Soal dan Pembahasan

Oke, sekarang kita langsung ke soalnya ya. Jadi, soalnya begini:

Jika T₁ = [[-1, 1], [3, 2]] dan T₂ = [[4, 1], [2, 1]], maka koordinat bayangan dari komposisi (T₂ ∘ T₁) untuk titik (-5, 4) adalah?

A. (-3; 4) B. (2; -5) C. (-2; 9) D. (-2; -6) E. (3; ...)

Langkah 1: Tentukan Matriks Komposisi Transformasi

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mencari matriks komposisi transformasi (T₂ ∘ T₁). Caranya, kita kalikan matriks T₂ dengan matriks T₁:

T₂ ∘ T₁ = T₂ * T₁ = [[4, 1], [2, 1]] * [[-1, 1], [3, 2]]

Untuk mengalikan dua matriks, kita ikuti aturan perkalian matriks. Elemen pada baris i kolom j dari matriks hasil perkalian diperoleh dengan menjumlahkan hasil perkalian elemen-elemen pada baris i matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom j matriks kedua. Jadi:

  • Elemen baris 1 kolom 1: (4 * -1) + (1 * 3) = -4 + 3 = -1
  • Elemen baris 1 kolom 2: (4 * 1) + (1 * 2) = 4 + 2 = 6
  • Elemen baris 2 kolom 1: (2 * -1) + (1 * 3) = -2 + 3 = 1
  • Elemen baris 2 kolom 2: (2 * 1) + (1 * 2) = 2 + 2 = 4

Sehingga, matriks komposisi transformasinya adalah:

T₂ ∘ T₁ = [[-1, 6], [1, 4]]

Langkah 2: Kalikan Matriks Komposisi dengan Vektor

Setelah kita dapat matriks komposisi transformasinya, sekarang kita kalikan dengan vektor posisi titik (-5, 4). Vektor posisi ini kita tulis dalam bentuk kolom:

v = [[-5], [4]]

Sekarang kita kalikan matriks T₂ ∘ T₁ dengan vektor v:

(T₂ ∘ T₁) * v = [[-1, 6], [1, 4]] * [[-5], [4]]

Sama seperti sebelumnya, kita ikuti aturan perkalian matriks:

  • Elemen baris 1 kolom 1: (-1 * -5) + (6 * 4) = 5 + 24 = 29
  • Elemen baris 2 kolom 1: (1 * -5) + (4 * 4) = -5 + 16 = 11

Jadi, hasil perkaliannya adalah:

(T₂ ∘ T₁) * v = [[29], [11]]

Langkah 3: Tentukan Koordinat Bayangan

Nah, hasil perkalian matriks ini adalah vektor posisi dari bayangan titik (-5, 4) setelah ditransformasikan oleh komposisi T₂ ∘ T₁. Jadi, koordinat bayangannya adalah (29, 11).

Sayangnya, jawaban ini tidak ada di pilihan ganda. Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawabannya. Tapi, secara konsep dan langkah-langkah pengerjaan, kita sudah melakukannya dengan benar. Jadi, kalau misalkan ada soal serupa, kalian bisa ikuti langkah-langkah ini ya.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Transformasi Linear

  • Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian paham betul apa itu transformasi linear, jenis-jenisnya (rotasi, translasi, dll.), dan bagaimana komposisinya bekerja.
  • Representasi Matriks: Ingat bahwa transformasi linear bisa direpresentasikan dengan matriks. Ini memudahkan kita dalam melakukan perhitungan, terutama untuk komposisi transformasi.
  • Perkalian Matriks: Kuasai perkalian matriks, karena ini adalah kunci utama dalam menyelesaikan soal-soal transformasi linear.
  • Teliti: Hati-hati dalam melakukan perhitungan, terutama perkalian matriks. Satu kesalahan kecil bisa mengubah hasil akhir.
  • Latihan Soal: Semakin banyak latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan berbagai jenis soal dan cara penyelesaiannya.

Kesimpulan

Oke guys, jadi gitu ya cara menyelesaikan soal tentang koordinat bayangan hasil komposisi transformasi linear. Memang kelihatannya agak panjang dan rumit, tapi kalau kita pahami konsep dasarnya dan teliti dalam perhitungan, pasti bisa kok. Jangan lupa terus latihan soal ya, biar makin jago!

Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian. Kalau ada pertanyaan atau mau request pembahasan soal lain, tulis aja di kolom komentar ya! Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!

Tambahan:

Penting! Dalam soal ini, jawaban yang kita dapatkan (29, 11) tidak ada di pilihan ganda. Ini bisa jadi karena ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawabannya. Tapi, proses pengerjaan yang kita lakukan sudah benar. Jadi, jangan khawatir kalau kalian menemukan soal seperti ini, tetap percaya diri dengan langkah-langkah yang sudah kalian kerjakan.

Dalam matematika, penting untuk memahami konsep dasar dan langkah-langkah pengerjaan, bukan hanya menghafal rumus. Dengan begitu, kita bisa menyelesaikan berbagai jenis soal, bahkan yang tidak familiar sekalipun.