Как Найти (a+b)c: Сдвиги И Сжатие Параболы
Давайте разберемся, как решить эту математическую задачу! Мы имеем дело с параболой и ее преобразованиями: сдвигами и сжатием. Наша цель – найти значение выражения (a+b)c, зная, что исходная парабола y=x^2 была подвергнута определенным изменениям. В этом руководстве мы шаг за шагом рассмотрим, как найти эти значения и решить задачу. Это руководство предназначено для всех, кто хочет углубить свои знания в области математического анализа, независимо от уровня подготовки. Мы начнем с основ, постепенно переходя к более сложным концепциям, чтобы вы могли уверенно справиться с подобными задачами. Готовы? Поехали!
Понимание Исходной Параболы и Преобразований
Первым делом, давайте вспомним, что такое парабола. Парабола – это графическое представление квадратичной функции, и в нашем случае, исходная парабола задается уравнением y=x^2. Это базовая парабола, вершина которой находится в точке (0, 0), а ветви направлены вверх. Теперь давайте поговорим о преобразованиях. В задаче сказано, что наша парабола была подвергнута двум типам преобразований: сдвигу и сжатию. Сдвиг – это перемещение параболы вправо/влево или вверх/вниз. Сжатие – это изменение формы параболы, при котором она либо становится шире (сжатие), либо уже (растяжение). В нашем случае, парабола была сдвинута на 3 единицы влево и на 8 единиц вниз, а также сжата в 2 раза вдоль оси Oy. Чтобы понять, как эти преобразования влияют на уравнение параболы, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности и посмотрим, как они влияют на параметры a, b и c.
Сдвиг Параболы
Когда мы сдвигаем параболу на 3 единицы влево, это означает, что мы заменяем x на (x + 3) в исходном уравнении. Это происходит потому, что мы хотим, чтобы вершина параболы, которая изначально находилась в точке (0, 0), теперь оказалась в точке (-3, 0). Таким образом, уравнение y=x^2 преобразуется в y=(x+3)^2. Далее, когда мы сдвигаем параболу на 8 единиц вниз, мы вычитаем 8 из всего уравнения. Это происходит потому, что мы хотим, чтобы вершина параболы сместилась на 8 единиц вниз, то есть из точки (-3, 0) в точку (-3, -8). Таким образом, уравнение y=(x+3)^2 преобразуется в y=(x+3)^2 - 8.
Сжатие Параболы
Когда мы сжимаем параболу в 2 раза вдоль оси Oy, это означает, что мы умножаем все уравнение на 1/2 (или делим на 2). Это происходит потому, что мы хотим, чтобы вертикальный масштаб параболы уменьшился в два раза. Таким образом, уравнение y=(x+3)^2 - 8 преобразуется в y = (1/2)(x+3)^2 - 8. Важно понимать, что в результате этих преобразований изменились все коэффициенты исходного уравнения. Теперь, давайте посмотрим, как это влияет на значения a, b и c.
Определение Коэффициентов a, b и c
После того, как мы разобрались с преобразованиями, давайте перейдем к определению коэффициентов a, b и c в уравнении y=ax^2+bx+c. Наша преобразованная парабола задается уравнением y = (1/2)(x+3)^2 - 8. Чтобы определить эти коэффициенты, нам нужно раскрыть скобки и упростить уравнение. Давайте это сделаем.
Раскрываем скобки в уравнении y = (1/2)(x+3)^2 - 8:
y = (1/2)(x^2 + 6x + 9) - 8
y = (1/2)x^2 + 3x + (9/2) - 8
Теперь упрощаем уравнение:
y = (1/2)x^2 + 3x - (7/2)
Теперь мы можем легко определить коэффициенты a, b и c. Сравнивая полученное уравнение с общим видом квадратичной функции y=ax^2+bx+c, мы видим следующее:
- a = 1/2
- b = 3
- c = -7/2
Теперь, когда мы определили значения a, b и c, мы можем перейти к следующему шагу – нахождению значения выражения (a+b)c. Это ключевой момент, который позволит нам решить задачу. Не забывайте, что правильное раскрытие скобок и упрощение уравнения – залог успеха в решении подобных задач. Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, осталось только подставить значения и получить ответ. Давайте перейдем к финальному этапу.
Расчет Значения (a+b)c и Увеличение в 8 Раз
Теперь, когда мы определили значения a, b и c, пришло время вычислить выражение (a+b)c. Это относительно простая задача, которая требует всего лишь подстановки значений и выполнения арифметических операций. Давайте подставим найденные значения:
a = 1/2 b = 3 c = -7/2
Теперь вычислим (a + b):
(a + b) = (1/2 + 3) = 7/2
Теперь умножим результат на c:
(a + b)c = (7/2) * (-7/2) = -49/4
Итак, мы нашли значение (a+b)c. Но в задаче также сказано, что нужно найти значение, увеличенное в 8 раз. Чтобы это сделать, просто умножим полученный результат на 8:
8 * (-49/4) = -98
Таким образом, ответ на задачу – это -98. Важно помнить, что мы прошли через все этапы решения задачи: от понимания преобразований параболы до нахождения коэффициентов и, наконец, вычисления значения выражения.
Подведение Итогов и Заключение
Поздравляю, ребята! Мы успешно решили эту задачу! Мы начали с понимания исходной параболы и ее преобразований, затем перешли к определению коэффициентов a, b и c, и, наконец, вычислили искомое значение, увеличенное в 8 раз. Этот процесс демонстрирует, как важно понимать основы математики и как различные концепции взаимосвязаны. Умение работать с квадратичными функциями, понимать сдвиги и сжатия, а также правильно раскрывать скобки – все это ключевые навыки, которые пригодятся вам в дальнейшем изучении математики. Надеюсь, что это руководство было полезным и помогло вам лучше понять тему преобразований парабол. Не стесняйтесь практиковаться больше, чтобы закрепить свои знания и уверенность в решении подобных задач. Помните, что математика – это как спорт: чем больше тренируешься, тем лучше результат! Продолжайте изучать и совершенствовать свои навыки, и вы обязательно достигнете успеха. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам в ваших будущих математических приключениях!