Графіки Функцій: Парність Та Непарність З Прикладами

by SLV Team 53 views

Привіт, друзі! Сьогодні ми з вами поринемо у захопливий світ математики і розглянемо таку цікаву тему, як парність та непарність функцій. Ми візьмемо конкретний приклад ламаної лінії ABCD, щоб наочно продемонструвати, як змінюються графіки функцій залежно від їх парності. Готові? Поїхали!

Розуміння Парності та Непарності Функцій

Давайте спочатку розберемось, що означають ці загадкові терміни - парність та непарність. У математиці функція може бути парною, непарною або не бути ні парною, ні непарною. Все залежить від того, як вона поводиться щодо симетрії.

Парна функція - це така функція, графік якої симетричний відносно осі ординат (осі Y). Математично це означає, що для будь-якого значення х з області визначення виконується умова: f(-x) = f(x). Простіше кажучи, якщо ви підставите у функцію від'ємне значення, результат буде таким самим, як і при підстановці відповідного додатного значення. Прикладом парної функції є f(x) = x². Якщо ви подивитесь на її графік, він буде симетричним відносно осі Y.

Непарна функція - це функція, графік якої симетричний відносно початку координат (точки (0; 0)). Для непарної функції виконується умова: f(-x) = -f(x). Це означає, що якщо ви підставите у функцію від'ємне значення, ви отримаєте результат, протилежний результату від підстановки відповідного додатного значення. Прикладом непарної функції є f(x) = x³. Її графік симетричний відносно початку координат.

Якщо ж функція не відповідає жодній з цих умов, вона є функцією загального вигляду і не має властивостей парності або непарності.

Побудова Графіка Парної Функції

Отже, перейдемо до нашої задачі. У нас є ламана ABCD, де A (0; 0), B (2; -2), C (3; 4), D (6; 1), яка є частиною графіка функції y = f (x), визначеної на проміжку [-6; 6]. Нам потрібно побудувати графік цієї функції, якщо вона є парною.

Якщо функція парна, то її графік симетричний відносно осі Y. Це означає, що для побудови графіка ми повинні відобразити задану частину графіка відносно осі Y. Давайте розглянемо точки нашої ламаної: A (0; 0), B (2; -2), C (3; 4), D (6; 1).

  • Точка A (0; 0): Вона лежить на осі Y, тому при симетрії вона залишиться на місці.
  • Точка B (2; -2): Для відображення відносно осі Y ми змінюємо знак координати x. Точка B (2; -2) перейде в точку B' (-2; -2).
  • Точка C (3; 4): Відображаємо відносно осі Y, отримуємо точку C' (-3; 4).
  • Точка D (6; 1): Відображаємо відносно осі Y, отримуємо точку D' (-6; 1).

Тепер у нас є точки A (0; 0), B' (-2; -2), C' (-3; 4), D' (-6; 1), які є симетричними відносно осі Y відповідним точкам B, C та D. Щоб побудувати графік парної функції, нам потрібно з'єднати ці точки з точкою A (0; 0) та з'єднати отримані точки B', C', D' між собою, дотримуючись того ж порядку, що і в початковій ламаній ABCD. Отже, ми отримаємо графік парної функції, який буде симетричним відносно осі ординат. По суті, ми просто відзеркалили задану ламану відносно осі Y.

Важливо! У випадку, якщо точка А (0;0) є точкою перетину графіка з віссю ординат, то вона не зазнає змін при відображенні, оскільки лежить на осі симетрії.

Малюнок Графіка Парної Функції

Для наочності, уявіть собі графік. У вас є вісь Y, яка поділяє графік навпіл. З одного боку у вас є ламана ABCD, а з іншого боку, симетрична їй ламана A B' C' D'.

Побудова Графіка Непарної Функції

Тепер давайте побудуємо графік цієї ж функції, але при умові, що вона є непарною. Нагадаю, що графік непарної функції симетричний відносно початку координат (точки (0; 0)). Це означає, що для кожної точки (x; y) на графіку повинна бути точка (-x; -y).

У нас є точки A (0; 0), B (2; -2), C (3; 4), D (6; 1). Для кожної з них ми знайдемо симетричну відносно початку координат точку:

  • Точка A (0; 0): Вона залишиться на місці, оскільки є центром симетрії.
  • Точка B (2; -2): Симетрична точка B'' (-2; 2).
  • Точка C (3; 4): Симетрична точка C'' (-3; -4).
  • Точка D (6; 1): Симетрична точка D'' (-6; -1).

Отже, для побудови графіка непарної функції ми повинні з'єднати точку А (0; 0) з точкою B'' (-2; 2), далі з'єднати B'' (-2; 2) з C'' (-3; -4), і нарешті з'єднати C'' (-3; -4) з D'' (-6; -1). Також з'єднуємо точку A (0; 0) з B (2; -2), B з C (3; 4), C з D (6; 1).

Таким чином, графік непарної функції буде складатися з двох частин, симетричних відносно початку координат. Одна частина – це задана ламана ABCD, а інша частина – симетрична їй ламана, утворена точками A (0; 0), B'' (-2; 2), C'' (-3; -4), D'' (-6; -1). При цьому, якщо подивитися на точки B (2; -2) та B'' (-2; 2), то стає зрозуміло, що вони симетричні відносно початку координат, як і C та C'', D та D'.

Малюнок Графіка Непарної Функції

Уявіть собі, що ви берете графік ламаної ABCD та перевертаєте його через початок координат. Це і буде графік непарної функції. З одного боку початку координат у вас буде ламана ABCD, а з іншого боку – симетрична їй ламана A B'' C'' D''.

Підсумок: Парність та Непарність в Графіках

Отже, друзі, ми розглянули, як впливає парність та непарність на графіки функцій. Парна функція має графік, симетричний відносно осі Y, а непарна функція має графік, симетричний відносно початку координат. Знання цих властивостей допомагає нам розуміти поведінку функцій та швидко будувати їхні графіки. У нашому прикладі з ламаною ABCD ми наочно побачили, як змінюється графік в залежності від парності функції. Це лише один з багатьох прикладів, які ілюструють красу та логіку математики.

Сподіваюся, цей матеріал був корисним та цікавим для вас! Якщо у вас залишились питання, пишіть в коментарях. До зустрічі на наступних уроках! 😉