Deret Geometri: Cari Rasio & Suku

Hey guys! Kali ini kita bakal bedah tuntas soal matematika yang seru abis, terutama yang berkaitan sama deret geometri. Buat kalian yang lagi pusing mikirin soal UN atau ujian lainnya, santai aja, karena kita bakal ngejelasinnya pelan-pelan sampai ngerti banget. Soal yang bakal kita bahas ini lumayan menantang, tapi pasti bisa diselesaikan kalau kita paham konsep dasarnya. Yuk, langsung aja kita mulai petualangan kita di dunia deret geometri!

Memahami Soal Deret Geometri

Oke, jadi ceritanya gini, kita punya sebuah barisan geometri. Barisan geometri itu apa sih? Gampangnya, ini barisan angka di mana setiap suku setelah suku pertama didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang gak nol. Nah, bilangan tetap ini yang kita sebut rasio. Keren, kan? Di soal ini, dibilang kalau jumlah tiga suku pertama barisan geometri itu adalah 49. Jadi, kalau kita sebut suku pertamanya itu $U_1$, suku keduanya $U_2$, dan suku ketiganya $U_3$, maka berlaku:

$U_1 + U_2 + U_3 = 49$

Selain itu, ada info penting lagi nih: hasil kali suku pertama ($U_1$) dan suku ketiga ($U_3$) adalah 196. Jadi:

$U_1 \times U_3 = 196$

Nah, dari dua informasi super penting ini, kita diminta buat ngebuktiin beberapa pernyataan. Pernyataan pertama bilang kalau rasio barisan tersebut adalah 2. Terus, pernyataan kedua nanya soal nilai suku keempat ($U_4$). Intinya, kita harus cari tahu bener nggak sih rasio barisan ini 2, dan berapa sih nilai $U_4$-nya kalau memang bener.

Menguraikan Konsep Deret Geometri

Sebelum kita terjun ke perhitungan, yuk kita review lagi konsep dasar dari barisan geometri. Suku-suku dalam barisan geometri biasanya dilambangkan dengan $U_n$, di mana $n$ adalah urutan sukunya. Kalau suku pertamanya itu $a$ (atau $U_1$), dan rasionya itu $r$, maka barisan geometrinya bakal kelihatan kayak gini:

$a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots, ar^{n-1}, \dots$

Jadi, suku ke-$n$ dari barisan geometri itu punya rumus:

$U_n = a \times r^{n-1}$

Nah, balik lagi ke soal kita. Kita punya tiga suku pertama, yaitu $U_1, U_2, U_3$. Kalau kita pakai rumus di atas, ini artinya:

$U_1 = a$ $U_2 = a \times r$ $U_3 = a \times r^2$

Sekarang, kita bisa substitusiin ini ke dalam dua persamaan yang udah dikasih tahu di soal:

1. $a + ar + ar^2 = 49$
2. $a \times (ar^2) = 196$

Dari persamaan kedua, kita bisa sederhanain jadi:

$a^2 r^2 = 196$ $(ar)^2 = 196$

Kalau kita akarin kedua sisi, kita dapet:

$ar = \pm \sqrt{196}$ $ar = \pm 14$

Perlu diingat, $ar$ ini kan sama dengan $U_2$, suku kedua barisan geometri kita. Jadi, suku kedua barisan ini bisa jadi 14, atau bisa juga -14.

Sekarang kita coba substitusiin $ar$ ke persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita bisa keluarin $a$ sebagai faktornya:

$a(1 + r + r^2) = 49$

Terus, kita juga bisa manipulasi persamaan pertama kayak gini:

$a + ar + ar^2 = 49$ $a + (ar) + (ar)r = 49$

Ingat, kita punya dua kemungkinan untuk $ar$, yaitu 14 dan -14.

Kasus 1: $ar = 14$

Kalau $ar = 14$, berarti $U_2 = 14$. Kita substitusiin ke persamaan pertama:

$a + 14 + ar^2 = 49$ $a + 14 + (ar)r = 49$ $a + 14 + 14r = 49$ $a + 14r = 49 - 14$ $a + 14r = 35$

Kita juga tahu dari $ar = 14$ bahwa $a = \frac{14}{r}$. Sekarang kita substitusiin $a$ ke persamaan $a + 14r = 35$:

$\frac{14}{r} + 14r = 35$

Biar nggak ada pecahan, kita kali semua suku dengan $r$ (asumsi $r \neq 0$):

$14 + 14r^2 = 35r$ $14r^2 - 35r + 14 = 0$

Bisa kita bagi semua suku dengan 7 biar lebih sederhana:

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat. Kita bisa cari nilai $r$ dengan faktorisasi:

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

Dari sini, kita dapat dua kemungkinan nilai $r$: $2r - 1 = 0 \implies r = \frac{1}{2}$, atau $r - 2 = 0 \implies r = 2$.

Di soal dibilang kalau rasionya adalah bilangan bulat. Jadi, dari dua kemungkinan ini, yang memenuhi syarat adalah $r = 2$. Kalau $r=2$, maka $a = \frac{14}{r} = \frac{14}{2} = 7$.

Yuk, kita cek apakah $a=7$ dan $r=2$ memenuhi syarat awal: $a + ar + ar^2 = 7 + 7(2) + 7(2^2) = 7 + 14 + 7(4) = 7 + 14 + 28 = 49$. Cocok! Dan $a \times ar^2 = 7 \times (7 \times 2^2) = 7 \times (7 \times 4) = 7 \times 28 = 196$. Juga cocok! Jadi, ini adalah solusi yang valid.

Kasus 2: $ar = -14$

Kalau $ar = -14$, berarti $U_2 = -14$. Kita substitusiin ke persamaan pertama:

$a + (-14) + ar^2 = 49$ $a - 14 + (ar)r = 49$ $a - 14 + (-14)r = 49$ $a - 14r = 49 + 14$ $a - 14r = 63$

Dari $ar = -14$, kita dapat $a = \frac{-14}{r}$. Substitusiin ke $a - 14r = 63$:

$\frac{-14}{r} - 14r = 63$

Kali semua dengan $r$:

$-14 - 14r^2 = 63r$ $-14r^2 - 63r - 14 = 0$

Bagi semua dengan -7:

$2r^2 + 9r + 2 = 0$

Kita coba faktorisasi persamaan kuadrat ini. Kalau pakai rumus ABC, $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, kita punya $a=2, b=9, c=2$. Diskriminannya adalah $b^2 - 4ac = 9^2 - 4(2)(2) = 81 - 16 = 65$. Karena diskriminan (65) bukan bilangan kuadrat sempurna, maka akar-akarnya bukan bilangan rasional, apalagi bilangan bulat. Jadi, kasus ini tidak memenuhi syarat 'rasio bilangan bulat'.

Kesimpulannya, satu-satunya solusi yang memenuhi semua syarat adalah $a=7$ dan $r=2$.

Menganalisis Pernyataan

Sekarang kita udah punya $a=7$ dan $r=2$. Yuk, kita cek pernyataan-pernyataan yang dikasih:

(1) Rasio barisan tersebut adalah 2.

Berdasarkan perhitungan kita di atas, kita menemukan bahwa rasio barisan ini memang $r=2$. Jadi, pernyataan ini BENAR.

(2) U_4 = rac{112}{3}

Kita diminta buat nyari nilai $U_4$. Ingat rumus suku ke-$n$: $U_n = a \times r^{n-1}$.

Untuk $U_4$, berarti $n=4$. Jadi:

$U_4 = a \times r^{4-1}$ $U_4 = a \times r^3$

Kita sudah tahu $a=7$ dan $r=2$. Maka:

$U_4 = 7 \times 2^3$ $U_4 = 7 \times 8$ $U_4 = 56$

Nah, pernyataan kedua bilang $U_4 = \frac{112}{3}$. Hasil perhitungan kita adalah $U_4 = 56$. Jelas banget, 56 itu beda sama $\frac{112}{3}$. Kalau kita hitung $\frac{112}{3}$ itu sekitar 37.33. Jadi, pernyataan ini SALAH.

Mengkonfirmasi Jawaban

Jadi, setelah kita bedah satu per satu, kita bisa simpulkan:

• Pernyataan (1) Benar.
• Pernyataan (2) Salah.

Dengan pemahaman yang kuat tentang konsep deret geometri, kita bisa dengan mudah menyelesaikan soal-soal kayak gini, guys. Kuncinya adalah teliti dalam setiap langkah perhitungan dan jangan lupa cek ulang syarat-syarat yang diberikan di soal. Matematika itu seru kalau kita mau ngulik!

Semoga penjelasan ini bermanfaat banget buat kalian ya. Kalau ada pertanyaan lain atau soal yang mau dibahas, jangan ragu buat kasih tahu kita! Kita bakal seneng banget bisa bantu kalian nguasain matematika. Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya! Keep learning and stay curious! Ada kalanya soal matematika memang butuh ketelitian ekstra, tapi trust me, setiap usaha pasti ada hasilnya. Jadi, jangan pernah nyerah ya! Kalau kalian nemu soal yang mirip, coba deh langkah-langkah di atas diterapkan. Pasti langsung jos gandos hasilnya. Oke deh, happy studying, guys!