Câte Moduri De A Urca O Scară: O Problemă De Matematică

by ADMIN 56 views

Salut, oameni buni! Astăzi, vom explora o problemă de matematică interesantă care implică urcarea unei scări. Imaginați-vă o scară cu nouă trepte. Treapta a patra este ruptă și nu poate fi atinsă. Puteți urca o treaptă sau două odată. Provocarea este să aflăm câte moduri diferite există pentru a ajunge de la sol până la ultima treaptă, evitând treapta ruptă. Sună distractiv, nu-i așa? Vom aborda această problemă pas cu pas, utilizând concepte matematice ușor de înțeles.

Înțelegerea Problemei și Strategia de Abordare

Înainte de a ne arunca în calcule, să ne asigurăm că înțelegem pe deplin problema. Avem o scară cu nouă trepte, dar treapta a patra este interzisă. Acest lucru complică puțin lucrurile, deoarece trebuie să găsim toate combinațiile posibile de pași (unul sau doi trepte) care ne duc la destinație, evitând în același timp treapta problematică.

Strategia noastră va fi să împărțim problema în sub-probleme mai mici. Vom calcula mai întâi numărul de modalități de a ajunge la fiecare treaptă, ignorând restricția treptei rupte. Apoi, vom ajusta aceste calcule pentru a ține cont de treapta a patra. Vom folosi o combinație de raționament logic și, eventual, un pic de programare sau o abordare iterativă pentru a ajunge la soluție. Este important să ne amintim că ordinea pașilor contează. A urca o treaptă, apoi două, este diferit de a urca două trepte, apoi una.

Un alt aspect important este să realizăm că, pentru a ajunge la o anumită treaptă, am venit fie de pe treapta anterioară (prin urcarea unei trepte), fie de pe treapta cu două trepte mai jos (prin urcarea a două trepte). Această observație stă la baza soluției noastre. Vom folosi acest principiu pentru a calcula numărul de moduri de a ajunge la fiecare treaptă.

Calculul Numărului de Modalități fără Restricții

Înainte de a ne preocupa de treapta ruptă, să ne concentrăm pe o scară obișnuită. Cum am calcula numărul de modalități de a urca o scară cu n trepte, având posibilitatea de a urca o treaptă sau două odată? Aceasta este o problemă clasică de programare dinamică sau de recurență.

Dacă notăm cu f(n) numărul de modalități de a urca n trepte, putem formula o relație de recurență: f(n) = f(n-1) + f(n-2). Aceasta înseamnă că, pentru a ajunge la treapta n, poți veni de pe treapta n-1 (urcând o treaptă) sau de pe treapta n-2 (urcând două trepte). Pentru treptele de bază, avem: f(1) = 1 (o modalitate: 1) și f(2) = 2 (două modalități: 1+1, 2). Acum, hai să calculăm numărul de modalități pentru primele trepte, ignorând temporar restricția treptei a patra:

  • Treapta 1: 1 modalitate
  • Treapta 2: 2 modalități
  • Treapta 3: f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3 modalități
  • Treapta 4: f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5 modalități
  • Treapta 5: f(5) = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8 modalități
  • Treapta 6: f(6) = f(5) + f(4) = 8 + 5 = 13 modalități
  • Treapta 7: f(7) = f(6) + f(5) = 13 + 8 = 21 modalități
  • Treapta 8: f(8) = f(7) + f(6) = 21 + 13 = 34 modalități
  • Treapta 9: f(9) = f(8) + f(7) = 34 + 21 = 55 modalități

Observați că am obținut o secvență Fibonacci! Dar, atenție, acestea sunt rezultatele pentru o scară fără restricții. Acum trebuie să integrăm restricția treptei a patra.

Ajustarea Calculului pentru a Evita Treapta a Patra

Acum vine partea crucială. Trebuie să ne asigurăm că nicio combinație de pași nu include treapta a patra. Cum facem asta? O abordare este să recalculăm numărul de modalități, dar să excludem toate căile care trec prin treapta a patra.

Pentru a evita treapta a patra, vom analiza cum putem ajunge la treptele următoare (5, 6, 7, 8, 9) fără a trece prin treapta 4. Vom recalcula numărul de modalități pentru fiecare treaptă, ținând cont de această restricție. Să notăm cu g(n) numărul de modalități de a ajunge la treapta n, evitând treapta 4.

  • Treapta 1, 2, 3: Nu sunt afectate de restricție, deci g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3.
  • Treapta 4: Nu putem ajunge la treapta 4, deoarece este interzisă. Deci, g(4) = 0.
  • Treapta 5: Pentru a ajunge la treapta 5, trebuie să venim de pe treapta 3 (urcând două trepte) sau de pe treapta 4 (urcând o treaptă). Dar treapta 4 este interzisă. Prin urmare, singura posibilitate este să venim de pe treapta 3. Deci, g(5) = g(3) = 3.
  • Treapta 6: Putem ajunge pe treapta 6 de pe treapta 5 (o treaptă) sau de pe treapta 4 (două trepte). Din nou, treapta 4 este interzisă. Deci, singura posibilitate este să venim de pe treapta 5. Astfel, g(6) = g(5) = 3.
  • Treapta 7: Putem ajunge pe treapta 7 de pe treapta 6 (o treaptă) sau de pe treapta 5 (două trepte). Deci, g(7) = g(6) + g(5) = 3 + 3 = 6.
  • Treapta 8: Putem ajunge pe treapta 8 de pe treapta 7 (o treaptă) sau de pe treapta 6 (două trepte). Deci, g(8) = g(7) + g(6) = 6 + 3 = 9.
  • Treapta 9: Putem ajunge pe treapta 9 de pe treapta 8 (o treaptă) sau de pe treapta 7 (două trepte). Deci, g(9) = g(8) + g(7) = 9 + 6 = 15.

Așadar, există 15 modalități de a ajunge la treapta a noua, evitând treapta a patra. Am folosit o abordare pas cu pas, ajustând calculele pentru a respecta restricția impusă.

Concluzie și Reflecții

Am reușit! Am rezolvat problema scării, găsind numărul de modalități de a ajunge la ultima treaptă, evitând treapta ruptă. Am folosit o combinație de recurență, logică și adaptare pentru a ajunge la soluție. Este o demonstrație bună a modului în care problemele matematice pot fi abordate sistematic și cum restricțiile pot schimba rezultatele.

Recapitulare:

  1. Am înțeles problema și am identificat restricțiile.
  2. Am calculat numărul de modalități fără restricții (secvența Fibonacci).
  3. Am ajustat calculele pentru a evita treapta a patra.
  4. Am obținut răspunsul final: 15 modalități.

Această problemă este un bun exercițiu de gândire logică și demonstrează importanța descompunerii problemelor complexe în sub-probleme mai simple. Sper că v-a plăcut această explorare matematică! Până data viitoare, continuați să vă gândiți logic și să explorați lumea fascinantă a matematicii!