Calculando La Aceleración De Una Partícula En Movimiento

¡Hola a todos! Hoy, vamos a sumergirnos en un problema fascinante de física que involucra el movimiento de una partícula. El objetivo es calcular la magnitud de su aceleración en un instante específico. Prepárense para aplicar conceptos clave y realizar cálculos precisos. ¡Vamos a ello!

Entendiendo el Problema y las Ecuaciones de Movimiento

El problema nos presenta una partícula que se mueve siguiendo una dinámica específica. Nos dan dos ecuaciones cruciales. La primera describe la posición radial de la partícula, $r(t) = 4 + 0.2t^2$. Esta ecuación nos dice cómo la distancia de la partícula desde el origen (o punto de referencia) cambia con el tiempo. La segunda ecuación, $\dot{\theta} = t$, describe la velocidad angular de la partícula. Indica cómo el ángulo $\theta$ que forma la partícula con un eje de referencia cambia con el tiempo.

Para resolver este problema, es fundamental comprender estas ecuaciones y cómo se relacionan con la aceleración. La aceleración, en este caso, tiene componentes radiales y tangenciales. La aceleración radial está relacionada con el cambio en la magnitud de la velocidad, mientras que la aceleración tangencial está relacionada con el cambio en la dirección del movimiento. Para calcular la magnitud de la aceleración, necesitaremos encontrar ambas componentes y luego combinarlas.

El primer paso es entender la información proporcionada. $r(t) = 4 + 0.2t^2$ nos da la distancia radial en función del tiempo. La derivada de esto, $\dot{r}(t)$, nos dará la velocidad radial, y la segunda derivada, $\ddot{r}(t)$, nos dará la aceleración radial. Por otro lado, $\dot{\theta} = t$ nos da la velocidad angular en función del tiempo. La derivada de esto, $\ddot{\theta}(t)$, nos dará la aceleración angular. Con estas cantidades, podemos calcular las componentes radial y tangencial de la aceleración.

Cálculo de la Velocidad y Aceleración Radial

El siguiente paso es calcular la velocidad y aceleración radial. Partimos de la ecuación de la posición radial: $r(t) = 4 + 0.2t^2$. Para encontrar la velocidad radial, debemos derivar esta ecuación con respecto al tiempo. Derivando $r(t)$, obtenemos:

$\dot{r}(t) = \frac{d}{dt}(4 + 0.2t^2) = 0.4t$

Esta ecuación nos da la velocidad radial en función del tiempo. Ahora, para encontrar la aceleración radial, derivamos la velocidad radial con respecto al tiempo:

$\ddot{r}(t) = \frac{d}{dt}(0.4t) = 0.4$

Observamos que la aceleración radial es constante y tiene un valor de 0.4 m/s². Esto significa que la componente radial de la aceleración no depende del tiempo, lo cual simplifica nuestros cálculos futuros. La velocidad radial, sin embargo, sí varía con el tiempo, lo que influirá en otros aspectos del movimiento de la partícula.

Para calcular la aceleración en el tiempo $t=2s$, necesitamos evaluar las componentes radial y tangencial en ese instante. La aceleración radial ya la tenemos, es constante. Ahora, necesitamos calcular la componente tangencial.

Cálculo de la Velocidad y Aceleración Angular

Ahora, nos enfocamos en el cálculo de la velocidad y aceleración angular. La ecuación dada es $\dot{\theta} = t$. Esta ecuación ya nos proporciona la velocidad angular directamente en función del tiempo. Para encontrar la aceleración angular, necesitamos derivar esta ecuación con respecto al tiempo:

$\ddot{\theta}(t) = \frac{d}{dt}(t) = 1$

La aceleración angular es constante y tiene un valor de 1 rad/s². Esto es importante porque la aceleración angular influye en la componente tangencial de la aceleración de la partícula. Esta aceleración angular, combinada con la velocidad angular y la distancia radial, contribuye a la magnitud total de la aceleración.

Con la aceleración angular calculada, podemos proceder a calcular la componente tangencial de la aceleración. Recuerden que la componente tangencial está relacionada con el cambio en la dirección del movimiento de la partícula.

Cálculo de las Componentes de la Aceleración en t=2s

¡Es hora de calcular las componentes de la aceleración en el tiempo específico de t=2s! Tenemos la aceleración radial ($\ddot{r} = 0.4$), y la aceleración angular ($\ddot{\theta} = 1$). Primero, calculamos la posición radial en $t=2s$:

$r(2) = 4 + 0.2(2)^2 = 4 + 0.2(4) = 4 + 0.8 = 4.8 ext{ m}$

Luego, calculamos la velocidad angular en $t=2s$:

$\dot{\theta}(2) = 2 ext{ rad/s}$

Ahora podemos calcular las componentes de la aceleración. La componente radial de la aceleración ($a_r$) se calcula como:

$a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$

Sustituyendo los valores:

$a_r = 0.4 - 4.8(2)^2 = 0.4 - 4.8(4) = 0.4 - 19.2 = -18.8 ext{ m/s}^2$

La componente tangencial de la aceleración ($a_t$) se calcula como:

$a_t = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$

Primero necesitamos calcular $\dot{r}$ en $t=2s$:

$\dot{r}(2) = 0.4(2) = 0.8 ext{ m/s}$

Sustituyendo los valores en la ecuación de $a_t$:

$a_t = 4.8(1) + 2(0.8)(2) = 4.8 + 3.2 = 8 ext{ m/s}^2$

Con las componentes radial y tangencial de la aceleración calculadas, estamos listos para encontrar la magnitud total de la aceleración.

Cálculo de la Magnitud de la Aceleración

Finalmente, calcularemos la magnitud de la aceleración en $t=2s$. Ya hemos calculado las componentes radial y tangencial de la aceleración. Ahora, usaremos estos valores para encontrar la magnitud total de la aceleración, $a$.

La magnitud de la aceleración se calcula utilizando el teorema de Pitágoras, ya que las componentes radial y tangencial son perpendiculares entre sí:

$a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$

Sustituyendo los valores que calculamos:

$a = \sqrt{(-18.8)^2 + (8)^2} = \sqrt{353.44 + 64} = \sqrt{417.44} \approx 20.4 ext{ m/s}^2$

Por lo tanto, la magnitud de la aceleración de la partícula en t=2s es aproximadamente 20.4 m/s². ¡Hemos resuelto el problema!

Conclusión y Reflexión

Hemos resuelto exitosamente el problema de física, encontrando la magnitud de la aceleración de la partícula. Este problema nos ha permitido aplicar conceptos clave como la posición, velocidad, y aceleración radial y tangencial. El cálculo involucró derivadas, álgebra y el uso del teorema de Pitágoras. La clave para resolver este tipo de problemas es entender las ecuaciones de movimiento, calcular correctamente las derivadas y aplicar las fórmulas adecuadas.

Recuerden que la práctica constante es fundamental para dominar estos conceptos. Intenta resolver problemas similares para fortalecer tus habilidades. ¡La física es fascinante y con dedicación, puedes comprenderla completamente! Y no se olviden de revisar las alternativas de respuesta que se nos dan en el enunciado del problema. En este caso, la respuesta correcta es la B. 20,4 m/s². ¡Felicidades! Han demostrado su capacidad para resolver problemas complejos de física. Sigan explorando el mundo de la física con curiosidad y entusiasmo. ¡Hasta la próxima!