Calculando A Área De Um Triângulo Retângulo: Um Guia Detalhado

Olá, pessoal! Hoje, vamos mergulhar em um problema clássico de geometria que envolve um triângulo retângulo, suas medidas e, claro, como calcular a sua área. A questão que nos guia é: Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e o perímetro total é de 22 cm? Preparam-se para desvendar esse enigma matemático, explorando passo a passo a solução. Além disso, vamos analisar as alternativas fornecidas para chegarmos à resposta correta.

Entendendo o Problema e os Conceitos-Chave

Primeiramente, vamos descomplicar o problema. Temos um triângulo retângulo, o que significa que um de seus ângulos internos é um ângulo reto (90 graus). O problema nos fornece duas informações cruciais: a hipotenusa, que mede 10 cm, e o perímetro, que é de 22 cm. É essencial lembrar que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o lado mais longo do triângulo retângulo. O perímetro, por sua vez, é a soma de todos os lados do triângulo. Para resolver este problema, precisaremos usar o Teorema de Pitágoras e as fórmulas básicas de área e perímetro.

O Teorema de Pitágoras e sua Importância

O Teorema de Pitágoras é a chave para resolver muitos problemas envolvendo triângulos retângulos. Ele estabelece que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados (a e b). Matematicamente, isso se expressa como: c² = a² + b². No nosso caso, sabemos o valor de c (10 cm), então podemos usar essa relação para encontrar as medidas dos outros dois lados do triângulo. Sem o conhecimento do Teorema de Pitágoras, seria impossível calcular as dimensões dos lados e, consequentemente, a área do triângulo. Portanto, dominar esse teorema é fundamental para qualquer estudante de matemática ou entusiasta da geometria.

Perímetro: A Soma dos Lados

O perímetro de qualquer figura geométrica é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. No caso do nosso triângulo, o perímetro é dado por: Perímetro = a + b + c. Sabemos que o perímetro é 22 cm e a hipotenusa (c) é 10 cm. Assim, podemos deduzir que a soma dos outros dois lados (a + b) deve ser 12 cm (22 cm - 10 cm = 12 cm). Essa informação é crucial, pois nos permite estabelecer uma segunda equação para resolver o problema, combinando-a com o Teorema de Pitágoras. Dominar o conceito de perímetro é essencial para entender as relações entre os lados de um triângulo e suas propriedades geométricas.

Resolvendo o Problema Passo a Passo

Agora que temos uma boa base teórica, vamos mergulhar na resolução do problema. Utilizaremos as informações fornecidas e as fórmulas matemáticas para encontrar a área do triângulo. Este processo é crucial para transformar um problema teórico em uma solução prática, demonstrando a aplicação do conhecimento em geometria.

1. Definindo as Variáveis e Equações

Primeiro, vamos definir as variáveis:

• a = um dos lados do triângulo
• b = o outro lado do triângulo
• c = hipotenusa = 10 cm
• Perímetro = a + b + c = 22 cm

Usando as informações, podemos estabelecer duas equações:

1. Teorema de Pitágoras: a² + b² = 10² (a² + b² = 100)
2. Perímetro: a + b + 10 = 22 => a + b = 12

Com essas duas equações, estamos prontos para resolver o sistema.

2. Resolvendo o Sistema de Equações

Podemos resolver o sistema de equações de várias maneiras. Uma delas é isolar uma variável na equação do perímetro e substituí-la na equação do Teorema de Pitágoras. Vamos isolar a na equação a + b = 12: a = 12 - b. Agora, substituímos a na equação a² + b² = 100:

(12 - b)² + b² = 100 144 - 24b + b² + b² = 100 2b² - 24b + 44 = 0

Dividimos toda a equação por 2:

b² - 12b + 22 = 0

Agora, podemos usar a fórmula quadrática para resolver para b: b = (-(-12) ± √((-12)² - 4122)) / (21)* b = (12 ± √(144 - 88)) / 2 b = (12 ± √56) / 2

As soluções aproximadas para b são 8,74 e 3,26. Substituímos esses valores em a = 12 - b para encontrar os valores correspondentes de a. Assim, a pode ser aproximadamente 3,26 ou 8,74.

3. Calculando a Área do Triângulo

A área de um triângulo retângulo é calculada pela fórmula: Área = (base * altura) / 2. No nosso caso, os lados a e b são a base e a altura do triângulo. Portanto, calculamos a área usando os valores de a e b que encontramos:

• Se a ≈ 3,26 e b ≈ 8,74: Área ≈ (3,26 * 8,74) / 2 ≈ 14,23 cm²

No entanto, o problema original apresenta as alternativas de resposta. Devemos, portanto, verificar se há algum erro nos cálculos ou se precisamos arredondar os valores. Como os valores que encontramos não correspondem a nenhuma das alternativas, precisamos rever o processo para garantir que a solução esteja correta. O erro está na resolução da equação quadrática, a qual tem como raízes 6 + √14 e 6 - √14. Com isso, os catetos do triângulo valem 8,74 e 3,26.

Usando os catetos corretos, a = 8,74 e b = 3,26, temos:

Área = (8,74 * 3,26) / 2 = 14,22 cm²

Analisando as Alternativas e Chegando à Resposta Correta

Agora, vamos analisar as alternativas fornecidas no problema original e ver qual delas se aproxima mais do nosso resultado. Este passo é crucial para garantir que a resposta selecionada esteja alinhada com as informações e cálculos realizados.

Comparando com as Alternativas

As alternativas fornecidas são:

• A) 24 cm²
• B) 30 cm²
• C) 36 cm²
• D) 40 cm²

Nosso cálculo da área foi aproximadamente 14,22 cm². Nenhuma das alternativas fornecidas se aproxima do nosso resultado. Isso indica que pode haver um erro no enunciado original do problema ou nas alternativas propostas. No entanto, com base nas informações fornecidas, a área calculada do triângulo é de aproximadamente 14,22 cm². É importante notar que, em problemas de geometria, é sempre crucial verificar as informações e os cálculos para garantir a precisão.

Considerações Finais

Embora a resposta exata não corresponda a nenhuma das alternativas, o processo de resolução nos ensina muito sobre como abordar problemas de triângulos retângulos. Usamos o Teorema de Pitágoras, o conceito de perímetro e a fórmula da área para chegar a uma solução. A importância de revisar os cálculos e verificar as alternativas é destacada, mostrando que a precisão é fundamental na matemática. Este exercício nos ajuda a fortalecer nossos conhecimentos em geometria e a aprimorar nossas habilidades de resolução de problemas.

Conclusão: Reforçando o Aprendizado

Em resumo, para calcular a área de um triângulo retângulo com hipotenusa de 10 cm e perímetro de 22 cm, aplicamos o Teorema de Pitágoras e as fórmulas de perímetro e área. Embora a resposta exata não corresponda às alternativas dadas, o processo de resolução é o que realmente importa. Aprendemos a importância de decompor o problema, definir variáveis, aplicar teoremas e fórmulas, e verificar os resultados. A matemática, como vimos, é uma jornada de descoberta, onde cada passo nos aproxima da compreensão dos conceitos e da resolução de problemas do mundo real. Continuem praticando, explorando e desvendando os mistérios da geometria! Se precisarem de mais exemplos ou tiverem outras perguntas, é só avisar! Até a próxima! Boa sorte nos estudos, pessoal! ;)