Bilangan Bulat Positif: Soal Himpunan Dan Keterbagian

by SLV Team 54 views

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik tentang himpunan bilangan bulat positif dan keterbagian. Soal ini meminta kita untuk mencari banyaknya bilangan bulat positif dalam suatu himpunan yang memenuhi kriteria keterbagian tertentu. Wah, kedengarannya seru kan? Yuk, langsung aja kita bedah soalnya!

Memahami Soal

Soalnya begini: Perhatikan himpunan bilangan bulat positif K = {1, 2, ..., 900}. Himpunan P, Q, R, dan S adalah subset dari himpunan K. Kita diminta untuk menentukan banyaknya bilangan bulat positif dalam himpunan K tersebut yang habis dibagi 5 dan 7, tetapi tidak habis dibagi 3 dan 9.

  • Himpunan K: Ini adalah himpunan bilangan bulat positif dari 1 sampai 900. Jadi, semua bilangan yang akan kita pertimbangkan ada di dalam himpunan ini.
  • Habis dibagi 5 dan 7: Artinya, bilangan tersebut harus merupakan kelipatan dari 5 dan juga kelipatan dari 7. Dengan kata lain, bilangan tersebut harus habis dibagi oleh Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 5 dan 7.
  • Tidak habis dibagi 3 dan 9: Artinya, bilangan tersebut tidak boleh merupakan kelipatan dari 3 dan juga tidak boleh merupakan kelipatan dari 9.

Dengan memahami soal ini, kita jadi tahu apa yang harus kita cari dan batasan-batasan yang ada. Sekarang, mari kita mulai memecahkan masalah ini langkah demi langkah.

Mencari Bilangan yang Habis Dibagi 5 dan 7

Langkah pertama adalah mencari bilangan yang habis dibagi 5 dan 7. Seperti yang sudah kita bahas sebelumnya, bilangan yang habis dibagi 5 dan 7 harus merupakan kelipatan dari KPK dari 5 dan 7.

KPK dari 5 dan 7 adalah 35. Jadi, kita perlu mencari bilangan kelipatan 35 yang berada dalam himpunan K (1 sampai 900).

Untuk mencari tahu ada berapa banyak bilangan kelipatan 35 dalam himpunan K, kita bisa membagi batas atas himpunan K (900) dengan 35:

900 / 35 = 25.71

Karena kita hanya tertarik dengan bilangan bulat, maka kita ambil angka 25. Ini berarti ada 25 bilangan kelipatan 35 dalam himpunan K. Bilangan-bilangan tersebut adalah: 35, 70, 105, 140, ..., 875.

Jadi, sampai tahap ini, kita sudah mendapatkan 25 bilangan yang memenuhi syarat pertama, yaitu habis dibagi 5 dan 7. Tapi, kita belum selesai! Kita masih harus mempertimbangkan syarat berikutnya.

Menyaring Bilangan yang Tidak Habis Dibagi 3 dan 9

Langkah kedua adalah menyaring bilangan-bilangan kelipatan 35 yang tidak habis dibagi 3 dan 9. Ini adalah bagian yang sedikit tricky, guys, tapi jangan khawatir, kita akan pecahkan bersama!

Kita sudah punya 25 bilangan kelipatan 35. Sekarang, kita perlu membuang bilangan-bilangan yang juga merupakan kelipatan 3 atau 9. Untuk mempermudah, kita bisa mencari bilangan yang merupakan kelipatan dari KPK 35 dan 3, serta KPK 35 dan 9.

  • KPK dari 35 dan 3: KPK(35, 3) = 105. Jadi, kita perlu membuang kelipatan 105 dari daftar kita.
  • KPK dari 35 dan 9: KPK(35, 9) = 315. Jadi, kita juga perlu membuang kelipatan 315 dari daftar kita.

Sekarang, mari kita hitung berapa banyak kelipatan 105 dan 315 yang ada dalam himpunan K:

  • Kelipatan 105: 900 / 105 = 8.57. Jadi, ada 8 kelipatan 105 dalam himpunan K.
  • Kelipatan 315: 900 / 315 = 2.86. Jadi, ada 2 kelipatan 315 dalam himpunan K.

Penting: Kita perlu hati-hati di sini. Kelipatan 315 juga merupakan kelipatan 105 (karena 315 adalah kelipatan 105). Jadi, kita tidak bisa langsung mengurangi 8 + 2 dari 25. Kita harus menggunakan prinsip Inklusi-Eksklusi.

Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah cara untuk menghitung banyaknya elemen dalam gabungan beberapa himpunan dengan benar. Dalam kasus ini, kita ingin menghitung banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 105 atau 315.

Rumusnya sederhana:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Di mana:

  • |A ∪ B| adalah banyaknya elemen dalam gabungan himpunan A dan B.
  • |A| adalah banyaknya elemen dalam himpunan A.
  • |B| adalah banyaknya elemen dalam himpunan B.
  • |A ∩ B| adalah banyaknya elemen dalam irisan himpunan A dan B.

Dalam konteks soal kita:

  • A adalah himpunan kelipatan 105.
  • B adalah himpunan kelipatan 315.
  • A ∩ B adalah himpunan kelipatan KPK dari 105 dan 315, yaitu 315 (karena 315 adalah kelipatan 105).

Jadi, kita punya:

  • |A| = 8
  • |B| = 2
  • |A ∩ B| = 2

Maka:

|A ∪ B| = 8 + 2 - 2 = 8

Ini berarti ada 8 bilangan yang merupakan kelipatan 105 atau 315 dalam himpunan K.

Menghitung Hasil Akhir

Akhirnya, kita bisa menghitung banyaknya bilangan yang memenuhi semua syarat! Kita mulai dengan 25 bilangan kelipatan 35, lalu kita kurangi dengan 8 bilangan yang merupakan kelipatan 105 atau 315.

25 - 8 = 17

Jadi, ada 17 bilangan bulat positif dalam himpunan K yang habis dibagi 5 dan 7, tetapi tidak habis dibagi 3 dan 9.

Kesimpulan

Wah, kita berhasil menyelesaikan soal ini, guys! Soal ini memang sedikit kompleks karena melibatkan beberapa konsep matematika, seperti KPK, keterbagian, dan prinsip Inklusi-Eksklusi. Tapi, dengan memecah soal menjadi langkah-langkah kecil, kita bisa menyelesaikannya dengan lebih mudah.

Poin-poin penting yang bisa kita ambil dari soal ini:

  • Memahami soal dengan baik adalah kunci utama. Kita harus tahu apa yang ditanyakan dan batasan-batasan yang ada.
  • Mencari KPK sangat penting untuk menentukan kelipatan bilangan yang memenuhi syarat.
  • Prinsip Inklusi-Eksklusi berguna untuk menghitung banyaknya elemen dalam gabungan himpunan dengan benar.
  • Latihan soal adalah cara terbaik untuk mengasah kemampuan kita dalam matematika. Semakin banyak kita berlatih, semakin mudah kita memahami konsep dan menyelesaikan soal.

Semoga penjelasan ini bermanfaat buat kalian ya! Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan terus belajar. Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya!