Analisis Sistem Dinamik Linear: Solusi & Kestabilan

by SLV Team 52 views

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal sistem dinamik linear dan bingung gimana cara nyelesaiinnya? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas soal sistem dinamik linear, mulai dari cara nyari solusinya, ngegambarin solusinya dalam bidang fase, sampai menganalisis kestabilannya. Kita akan membahas contoh soal berikut: dxdt=3x−y\frac{dx}{dt} = 3x - y, dydt=x+2y\frac{dy}{dt} = x + 2y. So, buckle up and let's dive in!

a. Mencari Solusi Sistem Dinamik

Oke, langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mencari solusi dari sistem dinamik ini. Gimana caranya? Nah, kita akan menggunakan metode nilai eigen dan vektor eigen. Metode ini emang jadi andalan banget dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Jadi, perhatiin baik-baik ya!

1. Representasi Matriks

Pertama-tama, kita ubah dulu sistem persamaan diferensial kita ke dalam bentuk matriks. Bentuk matriks ini akan memudahkan kita dalam melakukan perhitungan selanjutnya. Sistem persamaan

dxdt=3x−y,\frac{dx}{dt} = 3x - y,

dydt=x+2y.\frac{dy}{dt} = x + 2y.

Bisa kita tulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

[dxdtdydt]=[3−112][xy].\begin{bmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

Kita sebut matriks koefisien ini sebagai A: A=[3−112]A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}. Jadi, persamaan matriks kita sekarang menjadi ddt[xy]=A[xy]\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. Bentuk ini udah lebih enak dilihat kan? Nah, selanjutnya kita akan mencari nilai eigen dari matriks A ini.

2. Mencari Nilai Eigen

Nilai eigen (Îģ) adalah akar-akar karakteristik dari matriks A. Cara nyarinya gimana? Kita perlu menyelesaikan persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik ini didapatkan dari determinan (detdet) matriks (A - ÎģI), di mana I adalah matriks identitas. Jadi, persamaannya adalah:

det(A−ÎģI)=0.det(A - \lambda I) = 0.

Oke, sekarang kita hitung:

A−ÎģI=[3−112]−Îģ[1001]=[3−Îģ−112−Îģ].A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{bmatrix}.

Selanjutnya, kita cari determinannya:

det(A−ÎģI)=(3−Îģ)(2−Îģ)−(−1)(1)=Îģ2−5Îģ+6+1=Îģ2−5Îģ+7=0.det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(2 - \lambda) - (-1)(1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 + 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 7 = 0.

Nah, kita dapat persamaan kuadrat nih. Sekarang kita cari akar-akarnya (nilai eigen) menggunakan rumus kuadrat atau cara pemfaktoran (kalau bisa). Dalam kasus ini, kita gunakan rumus kuadrat:

Îģ=−bÂąb2−4ac2a=5Âą(−5)2−4(1)(7)2(1)=5Âą25−282=5±−32=5Âąi32.\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2}.

Wah, ternyata nilai eigen kita kompleks nih! Kita dapat dua nilai eigen: Îģ1=5+i32\lambda_1 = \frac{5 + i\sqrt{3}}{2} dan Îģ2=5−i32\lambda_2 = \frac{5 - i\sqrt{3}}{2}. Kehadiran bilangan imajiner ini bakal mempengaruhi bentuk solusi kita nanti.

3. Mencari Vektor Eigen

Setelah dapat nilai eigen, sekarang kita cari vektor eigen yang bersesuaian. Vektor eigen (v) adalah vektor tak nol yang memenuhi persamaan:

(A−ÎģI)v=0.(A - \lambda I)v = 0.

Untuk setiap nilai eigen, kita akan mendapatkan vektor eigen yang berbeda. Kita mulai dengan Îģ1=5+i32\lambda_1 = \frac{5 + i\sqrt{3}}{2}:

(A−Îģ1I)v=[3−5+i32−112−5+i32][v1v2]=[00].(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 3 - \frac{5 + i\sqrt{3}}{2} & -1 \\ 1 & 2 - \frac{5 + i\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.

Sederhanakan matriksnya:

[1−i32−11−1−i32][v1v2]=[00].\begin{bmatrix} \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} & -1 \\ 1 & \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.

Kita dapat sistem persamaan linear:

1−i32v1−v2=0,\frac{1 - i\sqrt{3}}{2} v_1 - v_2 = 0,

v1+−1−i32v2=0.v_1 + \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} v_2 = 0.

Dari persamaan pertama, kita dapatkan v2=1−i32v1v_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} v_1. Kita bisa pilih v1=2v_1 = 2, maka v2=1−i3v_2 = 1 - i\sqrt{3}. Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan Îģ1\lambda_1 adalah v1=[21−i3]v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 - i\sqrt{3} \end{bmatrix}.

Karena nilai eigen kita kompleks konjugat, vektor eigen untuk Îģ2=5−i32\lambda_2 = \frac{5 - i\sqrt{3}}{2} adalah konjugat dari v1v_1, yaitu v2=[21+i3]v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 + i\sqrt{3} \end{bmatrix}.

4. Solusi Umum

Nah, sekarang kita udah punya nilai eigen dan vektor eigennya. Saatnya kita tulis solusi umumnya. Karena nilai eigen kita kompleks, bentuk solusinya akan melibatkan fungsi sinus dan kosinus. Solusi umumnya adalah:

[x(t)y(t)]=c1eαt[Re(v)cos(βt)−Im(v)sin(βt)]+c2eαt[Re(v)sin(βt)+Im(v)cos(βt)],\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = c_1 e^{\alpha t} [Re(v) cos(\beta t) - Im(v) sin(\beta t)] + c_2 e^{\alpha t} [Re(v) sin(\beta t) + Im(v) cos(\beta t)],

Di mana Îģ=Îą+iβ\lambda = \alpha + i\beta adalah nilai eigen, v adalah vektor eigen, Re(v)Re(v) adalah bagian real dari v, Im(v)Im(v) adalah bagian imajiner dari v, dan c1c_1, c2c_2 adalah konstanta yang bergantung pada kondisi awal.

Dalam kasus kita, α=52\alpha = \frac{5}{2}, β=32\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}, dan v=[21−i3]v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 - i\sqrt{3} \end{bmatrix}. Jadi, Re(v)=[21]Re(v) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} dan Im(v)=[0−3]Im(v) = \begin{bmatrix} 0 \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix}.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam solusi umum, kita dapatkan:

[x(t)y(t)]=c1e52t[[21]cos(32t)−[0−3]sin(32t)]+c2e52t[[21]sin(32t)+[0−3]cos(32t)].\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = c_1 e^{\frac{5}{2}t} [\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) - \begin{bmatrix} 0 \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix} sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)] + c_2 e^{\frac{5}{2}t} [\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \begin{bmatrix} 0 \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix} cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)].

Sederhanakan lagi:

[x(t)y(t)]=c1e52t[2cos(32t)cos(32t)+3sin(32t)]+c2e52t[2sin(32t)sin(32t)−3cos(32t)].\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = c_1 e^{\frac{5}{2}t} \begin{bmatrix} 2 cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) \\ cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \sqrt{3} sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t) \end{bmatrix} + c_2 e^{\frac{5}{2}t} \begin{bmatrix} 2 sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t) \\ sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t) - \sqrt{3} cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) \end{bmatrix}.

Inilah solusi umum dari sistem dinamik kita! Panjang ya prosesnya? Tapi, kita berhasil melewatinya. Sekarang, kita lanjut ke bagian berikutnya.

b. Menggambarkan Solusi dalam Bidang Fase

Selanjutnya, kita akan menggambarkan solusi yang kita dapatkan tadi dalam bidang fase. Apa itu bidang fase? Bidang fase adalah representasi visual dari perilaku sistem dinamik dalam bidang koordinat (x, y). Bidang fase ini membantu kita memahami bagaimana solusi sistem berubah seiring waktu.

Karena solusi kita melibatkan fungsi sinus, kosinus, dan eksponensial, kita akan mendapatkan lintasan spiral dalam bidang fase. Eksponensial e52te^{\frac{5}{2}t} menunjukkan bahwa solusi akan menjauhi titik asal (0,0) seiring waktu. Jadi, kita akan melihat spiral yang semakin membesar.

Untuk menggambarkan bidang fase dengan lebih akurat, kita bisa menggunakan software matematika atau kalkulator grafik. Kita plot beberapa solusi dengan kondisi awal yang berbeda (nilai c1c_1 dan c2c_2 yang berbeda). Dari plot ini, kita bisa melihat pola spiral yang menjauhi titik asal.

Secara kualitatif, kita bisa membayangkan bahwa lintasan solusinya akan berbentuk spiral yang berputar menjauhi titik (0,0). Arah putarannya (searah jarum jam atau berlawanan) bergantung pada tanda dari bagian imajiner nilai eigen dan komponen vektor eigen.

c. Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kritis

Bagian terakhir yang akan kita bahas adalah analisis kestabilan di sekitar titik kritis. Apa itu titik kritis? Titik kritis adalah titik di mana dxdt=0\frac{dx}{dt} = 0 dan dydt=0\frac{dy}{dt} = 0. Dalam kasus kita, titik kritisnya adalah (0,0).

Kestabilan suatu titik kritis menunjukkan bagaimana solusi sistem berperilaku di sekitar titik tersebut. Ada tiga jenis kestabilan utama:

  1. Stabil: Jika solusi dimulai dekat titik kritis, solusi akan tetap dekat titik kritis seiring waktu.
  2. Tidak Stabil: Jika solusi dimulai dekat titik kritis, solusi akan menjauhi titik kritis seiring waktu.
  3. Stabil Asimtotik: Jika solusi dimulai dekat titik kritis, solusi akan mendekati titik kritis seiring waktu.

Untuk menganalisis kestabilan, kita bisa melihat nilai eigen dari matriks A. Dalam kasus kita, nilai eigennya adalah Îģ1=5+i32\lambda_1 = \frac{5 + i\sqrt{3}}{2} dan Îģ2=5−i32\lambda_2 = \frac{5 - i\sqrt{3}}{2}. Karena bagian real dari nilai eigen (Îą=52\alpha = \frac{5}{2}) positif, maka titik kritis (0,0) adalah tidak stabil. Ini berarti solusi akan menjauhi titik (0,0) seiring waktu, seperti yang kita lihat dalam bidang fase.

Selain itu, karena nilai eigennya kompleks, kita juga tahu bahwa titik kritisnya adalah spiral tidak stabil. Ini sesuai dengan gambaran bidang fase kita, di mana solusi membentuk spiral yang menjauhi titik asal.

Kesimpulan: Titik kritis (0,0) adalah spiral tidak stabil.

Penutup

Nah, itu dia guys! Kita udah berhasil menyelesaikan dan menganalisis sistem dinamik linear ini. Mulai dari mencari solusi umumnya, menggambarkan solusinya dalam bidang fase, sampai menganalisis kestabilannya. Emang agak panjang dan banyak langkahnya, tapi kalau kita ikutin step-by-step, pasti bisa kok. Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat nanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya! Tetap semangat dan terus belajar!